X
  • #1 08 Nov 2006 19:45
    kostek6
    Level 17  
    Helpful post? (0)
    Czy istnieje wzór na osie symetrii wielokątu na plaszczyźnie układu współrzędnych
    po podaniu:
    liczby wierzchołków
    współrzędnych {x,y} do każdego z wierzchołków
  • #2 09 Nov 2006 01:38
    Quarz
    Level 43  
    Helpful post? (0)
    Witam,
    chyba podajesz tę informację z redundancją, wystarczy tylko podać współrzędne wierzchołków, a ich ilość już można policzyć.
    Można też, na podstawie znajomości współrzędnych tych wierzchołków znaleźć współrzędne środka (Środek Ciężkości) tego wielokąta foremnego.
    Mając współrzędne jego geometrycznego środka, oraz (z informacji pierwotnej) współrzędne jego wierzchołków, można znaleźć równania prostych przechodzących przez te pary punktów.
    Owe proste będą osiami symetrii wielokąta foremnego o nieparzystej ilości wierzochołków.
    Natomiast dla wielokąta foremnego o parzystej ilości wierzchołków należy jeszcze znaleźć równania prostych przechodzących przez jego geometryczny środek i środki jego naprzeciwległych (równoległych) boków (tu zawsze leżą trzy punkty na jednej prostej).
    Dowód tego twierdzenia (przy wykorzystaniu Indukcji Matematycznej) pozostawiam Tobie... :D

    Pozdrawiam

    P.S. Przypomnę pomocne tu równanie prostej (równanie odcinkowe prostej) przechodzącej przez dane dwa punkty o współrzędnych odpowiednio; P1(x1, y1) i P2(x2, y2):
    y - y1 = [(y2 - y1)/(x2 - x1)]•(x - x1)
  • #3 09 Nov 2006 13:34
    qrdel
    Level 28  
    Helpful post? (0)
    O ile się doczytałem to w warunkach zadania nie było wspomniane nic o foremności wielokąta.
    Taki powiedzmy trapez równoboczny, foremny nie jest, a swoją oś symetrii ma.
    Albo powiedzmy romb, różne deltoidy, wielokąty wklęsłe (rozmaite gwiazdki).

    Myślę, że należy znaleźć środek ciężkości (SC) i potem testować wszystkie proste przechodzące przez SC i wierzchołek lub przez SC i środek boku; na okoliczność czy nie jest osią symetrii.
    Test polega na sprawdzeniu czy każdy wierzchołek ma po odbiciu względem testowanej osi obraz w zbiorze wierzchołków.
    Uwaga: można uzyskać dwukrotnie parametry tej samej prostej, wypada sprowadzić wzorki do postaci kanonicznej i zobaczyć czy się nie powtarzają.
  • #4 09 Nov 2006 13:49
    Quarz
    Level 43  
    Helpful post? (0)
    Witam,
    Kolego :arrow: qrdel, dziękuję za uzupełnienie mojej wypowiedzi.
    Faktycznie, zapomniałem o pozostałej grupie wielokątów, które foremne nie są, ale osie symetrie mają ... :D
    Proszę tylko zauważyć porę nocy, o której napisałem swój post ... :cry:
    Nie mniej, wyznaczenie Środka Ciężkości jest tu zawsze konieczne, a więc nie trudno jest twierdzenie, tam napisane, uzupełnić o podklasę wielokątów nieforemnych, ale mających osie symetrii, ponieważ istnienie osi symetrii dla wielokątów foremnych jest ich immanentną własnością ... :D

    Pozdrawiam
  • #5 09 Nov 2006 16:27
    kostek6
    Level 17  
    Topic author Helpful post? (0)
    OK a więc czy ten algorytm jest prawidłowy
    ALGLORYTM:
    1. podzielność wierzchołków przez 2
    2A. Tak 2B. Nie
    3.Środek ciężkości
    4B.Równania prostych {wierzchołek»środek ciężkośći}
    4A. Sprawdzenie czy któraś z wyznaczonych wcześniej posiada odbicie lustrzane na zasadzie wektorów
    PS
    jak obliczyć Środek ciężkości?
  • #6 09 Nov 2006 17:16
    Quarz
    Level 43  
    Helpful post? (0)
    Witam,
    kostek6 wrote:
    OK a więc czy ten algorytm jest prawidłowy
    ALGLORYTM:
    1. podzielność wierzchołków przez 2
    2A. Tak 2B. Nie
    3.Środek ciężkości
    4B.Równania prostych {wierzchołek»środek ciężkośći}
    4A. Sprawdzenie czy któraś z wyznaczonych wcześniej posiada odbicie lustrzane na zasadzie wektorów

    dla kompletu, brakuje sprawdzania wielokątów nieforemnych, które mają osie symetrii, ale tu napisanie algorytmu jest już znacznie trudniejsze, ponieważ, moim zdaniem, należałoby zbadać wcześniej i to w sposób ogólny, czy to jest wielokąt foremny.
    Do tego celu konieczne jest znalezienie współrzędnych środka ciężkości (ŚC), by poprzez badanie wzajemnych odległości i kątów obrotu od jego wierzchołków do ŚC zweryfikować jego foremność, lub nieforemność.

    kostek6 wrote:
    PS
    jak obliczyć Środek ciężkości?

    dobre pytanie, ale ogólnie, to nie jest to takie proste, ponieważ we wzorach na współrzędne ŚC występują całki oznaczone w granicach od kresu dolnego do kresu górnego jego odciętych z równania jego konturu (dolnego i górnego) i podzielone przez pole powierzchnii tego wielokąta.
    Znaleziony w moim poradniku matematycznym wzór cosik mi nie podoba się, więc muszę go zweryfikować i wtedy zamieszczę ... :D
    Jako pomocne do tego słowo kluczowe podam: twierdzenia Guldina
    Oczywiście, znalezienie ŚC dla wielokąta foremnego, o którym wiemy a priori, że jest foremnym jest zagadnieniem banalnym ...

    Pozdrawiam
  • #7 13 Nov 2006 01:46
    qrdel
    Level 28  
    Helpful post? (0)
    Wielce Szanowny kol. Quarz

    Jak widzę para sowieckich mądrców służyła pomocą (Bronsztejn + Siemiendiajew). (a może się pomyliłem)
    Fakt, jest to jedna z nielicznych pożytecznych rzeczy pozostałych po minionym systemie.

    Niestety przywołane twierdzenie Guldina dotyczy dopiero tego co otrzymamy jak sobie pokręcimy daną figurą w kółko. Wspólne z tutejszym problemem jest to że potrzeba wtedy wyznaczyć środek ciężkości.

    A poradnik encyklopedyczny warto trzymać jak skarb, wyraźnie podpisać i nikomu nie pożyczać!!!

    A w dziale Programowanie ciągniemy temat http://www.elektroda.pl/rtvforum/viewtopic.php?p=3218540#3218540
  • #8 13 Nov 2006 14:28
    Quarz
    Level 43  
    Helpful post? (0)
    Witam,
    Kolego, Wielce Szanowny :arrow: qrdel
    wbrew pozorom, ale nie tylko ten poradnik jest w moim posiadaniu, również i krajowego wypuska Encyklopedie, oraz niemiecki pierwowzór (czerwona plastikowa okładka) tłumaczenia rosyjskiego, a o którym przetłumaczonym na polski Kolega wspomina... :D
    Natomiast Paul Guldin, choć nazwisko mogłyby kojarzyć się z rosyjskim pochodzeniem, to chyba jednak Rosjaninem nie był:
    http://www.cosmovisions.com/Guldin.htm

    Winny jestem, obiecane, uzupełnienie na środek ciężkości ŚC konturu zamkniętego.
    W rzeczonym poradniku (PWN Warszawa 1968, wydanie drugie rozszerzone) jest dobrze (choć początkowo nie byłem tego pewien):
    str. 501, rys. 317b i zależności (u góry strony poniżej podpisu; [... rys. 317b):] na xC, yC.
    Podane tam zależności sprawdziłem na kilku figurach o znanym mi środku ciężkości przemieszczajac je na płaszczyźnie układu współrzędnych i za każdym razem (ŚC znałem a priori) otrzymywałem spodziewany wynik :D
    Dziękuję za linkę do nowego tematu, byłem poczytać, jak będę miał coś istotnego do powiedzenia, to nie omieszkam tam napisać ... :D

    Pozdrawiam
  Search 4 million + Products
Browse Products