Elektroda.pl
Elektroda.pl
X

Search our partners

Find the latest content on electronic components. Datasheets.com
Elektroda.pl
Please add exception to AdBlock for elektroda.pl.
If you watch the ads, you support portal and users.

Definicja częstotliwości granicznej

jony 25 Feb 2010 17:00 19413 14
Altium Designer Computer Controls
  • #1
    jony
    Electronics specialist
    Interesuje mnie czy istnieje jakaś definicja częstotliwości granicznej?
    Bo tak dla prostych filtrów RC jest to spadek o 3dB
    A np. dla tego filtru:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Sallen_Key_filter#Example:_Low-pass_filter
    Choć nie ma o tym wzmianki i sam się niedawno bardzo zdziwiłem, wzór na Fo dotyczy spadku wzmocnienie o 6dB.
    I chciałem się dowiedziesz czemu nie jest to ujednolicone?
  • Altium Designer Computer Controls
  • Helpful post
    #2
    Quarz
    Level 43  
    Witam,
    jony wrote:
    Interesuje mnie czy istnieje jakaś definicja częstotliwości granicznej?
    Bo tak dla prostych filtrów RC jest to spadek o 3dB
    A np. dla tego filtru:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Sallen_Key_filter#Example:_Low-pass_filter
    Choć nie ma o tym wzmianki i sam się niedawno bardzo zdziwiłem, wzór na Fo dotyczy spadku wzmocnienie o 6dB.
    I chciałem się dowiedziesz czemu nie jest to ujednolicone?
    jakoś nie mogę doczytać tam by było inaczej jak to jest ogólnie przyjęte, czyli częstotliwość graniczna odpowiada tam spadkowi charakterystyki o 1/√2 (o 3dB).
    Zatrudniłem Google'owego tłumacza:
    Definicja częstotliwości granicznej
    by było łatwiej zrozumiałe, ale gdzie tam jest wspomniane o 6dB ... :?: :cry:

    Pozdrawiam
  • #3
    jony
    Electronics specialist
    No właśnie nie ma tam ani słowa o tym.
    Weźmy przykład z Wikipedii
    Definicja częstotliwości granicznej

    I pod tym schematem mamy taki podpis:
    Quote:

    A low-pass filter, which is implemented with a Sallen–Key topology, with FC=15.9 KHZ and Q = 0.5.

    Z tego wzoru
    Definicja częstotliwości granicznej
    Obliczamy Fc=15.9KHz.
    A symulacja mówi, że Fc=10.2Khz mamy -3dB a dla 15.9KHz to mamy -6dB
    Definicja częstotliwości granicznej
    Więc do wzoru trzeba by było dodać stałą równą ok 1.55
    Fc=1/(1.55*R*C)
  • Altium Designer Computer Controls
  • Helpful post
    #4
    Quarz
    Level 43  
    jony wrote:
    No właśnie nie ma tam ani słowa o tym.
    Weźmy przykład z Wikipedii
    Definicja częstotliwości granicznej

    Ale biorąc pod uwagę to:
    Definicja częstotliwości granicznej
    to nie da się zaliczyć tego filtru - o tak dobranych wartościach parametrów jego elementów składowych - do żadnej z klas filtrów spełniających określony typ charakterystyki przenoszenia - Filtr Butterwortha, Filtr Bessela, Filtr Czebyszewa.

    jony wrote:
    I pod tym schematem mamy taki podpis:
    Quote:

    A low-pass filter, which is implemented with a Sallen–Key topology, with FC=15.9 KHZ and Q = 0.5.

    Z tego wzoru
    Definicja częstotliwości granicznej
    Obliczamy Fc=15.9KHz.
    A symulacja mówi, że Fc=10.2Khz mamy -3dB a dla 15.9KHz to mamy -6dB
    Definicja częstotliwości granicznej
    Więc do wzoru trzeba by było dodać stałą równą ok 1.55
    Fc=1/(1.55*R*C)
    Patrz wyżej ... a powiedzenie Starozakonnych powiada: jak nie dowierzasz to zmień ... i tu wymieniają co należy zmienić, aby w danej sprawie utwierdzić się ... :idea: :D
    A na poważnie, gdzieś jest błąd, ale powstaje pytanie gdzie?
    W wolniejszej chwili przeliczę charakterystkę amplitudowo-fazową tego filtru niezależną metodą i wtedy będzie można porównać otrzymane wyniki.
  • #5
    jony
    Electronics specialist
    Quarz wrote:

    A na poważnie, gdzieś jest błąd, ale powstaje pytanie gdzie?
    W wolniejszej chwili przeliczę charakterystkę amplitudowo-fazową tego filtru niezależną metodą i wtedy będzie można porównać otrzymane wyniki.

    Wątpię by symulacja "pomyliła się" w tak prostym układzie
    Definicja częstotliwości granicznej
    Pewnie jest to jakiś wyjątek, bo tak jak mówisz, "nie da się zaliczyć tego filtru do żadnej z klas filtrów spełniających określony typ charakterystyki przenoszenia - Filtr Butterwortha, Filtr Bessela, Filtr Czebyszewa".
    Tylko czemu nie ma o tym nigdzie wzmianki ?
  • Helpful post
    #7
    Paweł Es.
    VIP Meritorious for electroda.pl
    Jeżeli się trzymać definicji określającej częstotliwość graniczną jako miejsce gdzie na wyjściu jest połowa mocy lub 1/√2 amplitudy, to ten wzór podaje nieprawdę.
    Te -3dB dla tej częstotliwości to owszem występuje w układzie ale w pierwszym węźle od wejścia (pomiędzy R1 i R2) a rzeczywisty wzór na częstotliwość to trzeba wyprowadzić przez porównanie mianownika modułu charakterystyki amplitudowej do √2 czyli rozwiązać równanie:


    $$(1-\omega^2 R_1*R_2*C_1*C_2)^2+\omega^2*((R_1+R_2)*C_2)^2=2$$

    przyjmując R1=R2=R i C1=C2=C

    równanie przyjmuje postać

    $$(1-(\omega*R*C)^2)^2+(\omega*2*R*C)^2=2$$

    $$(1-(\omega*R*C)^2)^2+4*(\omega*R*C)^2=2$$

    podstawiając sobie $$x=\omega*R*C$$

    $$(1-x^2)^2+4*x^2=2$$

    $$1-2*x^2+x^4+4*x^2-2=0$$

    $$x^4+2*x^2-1=0$$

    kolejne podstawienie$$ y=x^2$$

    $$y^2+2*y-1=0$$

    Dodatni pierwiastek tego równania ma wartość $$y=\sqrt{2}-1$$

    z tego mamy $$x=\sqrt{\sqrt{2}-1}$$

    czyli otrzymujemy, że dla tego układu, 3dB częstotliwość graniczna wyraża się wzorem:

    $$fg=\frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2*\Pi*R*C}$$
  • Helpful post
    #8
    Mirek Z.
    Moderator
    Czy nie chodzi tu przypadkiem o skuteczność filtru, czyli charakterystykę tłumienności (nachylenie)? Jedne mają 3dB/okt., inne 6dB/okt. itd.
  • Helpful post
    #9
    Quarz
    Level 43  
    Witam,
    __Grzegorz__ wrote:
    Polecam dokument od Texas Instruments:
    http://focus.ti.com/lit/an/sloa024b/sloa024b.pdf


    Wiele wątpliwości rozjaśni punkt 3 tego dokumentu.
    dokument ten mnie - a myślę, iż Koledze jony też - jest od dawna dobrze znany (znalazłem go w moim komputerze z datą sprzed kilku lat).
    I jeśli zażądać by - w występujących tam wzorach - wartość K =1 (na stronie 6, Figure 3. Generalized Sallen-Key Circuit -> R4 =0, R3 =>∞) to będą one identyczne jak z linki prowadzącej do WikiPedii, czyli otrzymamy filtr wtórnikowy ... :idea: :D
    W książce - przetłumaczonej w 1981 roku na język polski - autora; PatrickH. Garrett, "ANALOG SYSTEMS FOR MICROPROCESSORS AND MINICOMPUTERS",
    by Reston Publishing Company, Inc. A Prentice-Hall Company, Reston, Virginia 22090
    Copyright © 1978 by Reston Publishing Co., Inc.
    a tytuł polskiego wydania: "układy analogowe w systemach cyfrowych", wydana przez WN-T w serii; "układy i systemy elektroniczne" - USE,
    jest podana metodyka projektowania takich filtrów aktywnych gdzie dla unormowanej wartości pulsacji ωN =1rd/s, oraz dla unormowanych wartości rezystancji R1 = R2 =1Ω - dla filtru dwubiegunowego (czyli jak tu omawianego) o charakterystyce Butterwortha - unomormowane wartości pojemności wynoszą odpowiednio: C1 =1,414F, C1 =0,707F, czyli C1/C2 = n =2.
    Nietrudno też sprawdzić, iż korzystając z odpowiednich wzorów z przytoczonej tu linki do WikiPedii dla m = R1/R2 =1, oraz dla podanej tam wartości Q =1/√2 = √(m•n)/(m + 1) - wymaganej dla filtru o charakterystyce Butterwortha - otrzymamy również wartość n =2.

    Pozdrawiam

    Dodano po 52 [minuty]:

    Paweł Es. wrote:
    Jeżeli się trzymać definicji określającej częstotliwość graniczną jako miejsce gdzie na wyjściu jest połowa mocy lub 1/√2 amplitudy, to ten wzór podaje nieprawdę.
    Który to wzór ? ? ?

    Paweł Es. wrote:
    Te -3dB dla tej częstotliwości to owszem występuje w układzie ale w pierwszym węźle od wejścia (pomiędzy R1 i R2) a rzeczywisty wzór na częstotliwość to trzeba wyprowadzić przez porównanie mianownika modułu charakterystyki amplitudowej do √2 czyli rozwiązać równanie:


    $$(1-\omega^2 R_1*R_2*C_1*C_2)^2+\omega^2*((R_1+R_2)*C_2)^2=2$$

    przyjmując R1=R2=R i C1=C2=C

    równanie przyjmuje postać

    $$(1-(\omega*R*C)^2)^2+(\omega*2*R*C)^2=2$$

    $$(1-(\omega*R*C)^2)^2+4*(\omega*R*C)^2=2$$

    podstawiając sobie $$x=\omega*R*C$$

    $$(1-x^2)^2+4*x^2=2$$

    $$1-2*x^2+x^4+4*x^2-2=0$$

    $$x^4+2*x^2-1=0$$

    kolejne podstawienie$$ y=x^2$$

    $$y^2+2*x^2-1=0$$

    Dodatni pierwiastek tego równania ma wartość $$y=\sqrt{2}-1$$

    z tego mamy $$x=\sqrt{\sqrt{2}-1}$$

    czyli otrzymujemy, że dla tego układu, 3dB częstotliwość graniczna wyraża się wzorem:

    $$fg=\frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2*\Pi*R*C}$$
    Warto by policzyć ile to będzie - dla podanych tam wartości parametrów występujących elementów.

    Jak widać - Panie Kolego, Paweł Es. - pośpiech jest wskazany zasadniczo tylko w dwóch przypadkach (jednak ich wymienianie tu sobie podaruję) lecz nie tu, co widać na poniższej fotce:
    Definicja częstotliwości granicznej
  • Helpful post
    #10
    Paweł Es.
    VIP Meritorious for electroda.pl
    A to przez to, że przy składaniu wzoru poprawiałem kopię w Techu poprzedniego wzoru z iksami i nie wszystko zmieniłem, dzięki za zauważenie, już poprawiłem :)

    A ten wzór to chodziło mi o ten na fg, co go podał Kol. Jony, z którego wychodzi częstotliwość, przy której jest te -6.02 dB zamiast -3.01 dB

    Wyszedłem z tego wzoru:

    Definicja częstotliwości granicznej

    Tym nie mniej literówka nie zmienia wyniku końcowego (wyprowadzałem to już kiedyś i wtedy się zgadzało )

    Zastanawiam się jednak dlaczego to porównanie wzoru na ogólną postać filtru z tym konkretnym prowadzi do częstotliwości 6dB zamiast 3dB ... nic może jutro coś wymyślę, bo mnie śpik coś dziś morzy :)) Dobranoc :)

    PS oczywiście to co podałem, to jest dla wtórnika i identycznych elementów (co uprościło przekształcenia).

    Z podanego wzoru dla parametrów R1=R2=10k i C1=C2=1nF wychodzi
    fg=10243,423 Hz co się zgadza z symulacją układową.

    I ten brakujący współczynnik co Kol. Jonemu wychodził z symulacji ...

    $$\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}}=1,5537739740300373073441589530631$$
  • #11
    Quarz
    Level 43  
    Sprawa jest tu prosta a tyle tylko, że napisane jest o tym "pomiędzy wierszami" - zarówno w zacytowanych tu dokumentach PDF od Texas Instruments, spadkobiercy po Burr Brown (pisałem o tym tu niedawno), jak i z zacytowanych tu stron z WikiPedii, oraz w w/w przeze mnie książce.
    Mianowicie wartość częstotliwości granicznej fC odpowiada tu spadkowi poziomu charakterystyki przenoszenia o 3dB, czyli o 1/√2, ale dla filtru pierwszego rzędu, a co dla filtru aktywnego bez wzmocnienia (wtórnikowego) odpowiada zwykłemu członowi dolnoprzepustowemu R-C, gdzie oczywiście na wyjściu tego członu można można podłączyć operacyjny wtórnik napięcia, a co upodabnia taki układ do filtru aktywnego - a można też uzyskać wzmocnienie napięcia wyjściowego (operacyjny wzmacniacz nieodwracający).
    Łatwo to przeliczyć z tej zależności:
    Definicja częstotliwości granicznej
    gdy podstawić; R1 = R2 = R, oraz; C1 = C2 = C, a wtedy dla tego wzoru:
    Definicja częstotliwości granicznej
    mamy wartość; m =1, oraz wartość; n =1, czyli;
    $$fc=\frac{\\1}{2\pi{R}{C}}$$
    co dla przyjętych tam wartości parametrów daje wartość;
    fC =1/(2•Π•10000Ω•1/1000000000)F)=15915.4943091895Hz,
    ale dla filtru 2-go rzędu - z którym mamy tu do czynienia - dla tej wartości częstotliwości granicznej, względny spadek charakterystyki przenoszenia (w dB) musi być dwa razy większy, czyli 6dB.
    Natomiast 3 decybelowa wartość energetycznej częstotliwości granicznej; fGR, przesuwana jest od wartości fC w kierunku pasma przepustowego o wartość;
    √(2^(1/n) -1) razy,
    gdzie n > 1, oraz całkowite, jest wartością rzędu analizowanego filtru - tu n =2.
    Wartość wyrażenia; √(2^(1/n) -1) dla n =2 wynosi;
    √(√2-1)=0.643594252905583, co po przemnożeniu przez wartość fC daje wartość 3dB energetycznej częstotliwości granicznej:
    fGR = √(√2-1)•fC, czyli;
    fGR =√(√2-1)/(2•Π•10000Ω•(1/1000000000)F)=10243.1206695459Hz,
    co wyjaśnia sprawę i daje zgodność obliczeń teoretycznych z wartościami uzyskanymi z symulatora.

    Ogólnie, dla dolnoprzepustowego Filtru Butterwortha (bez wzmocnienia) charakterystyka amplitudowa Am(f) od częstotliwości f dla danego rzędu n filtru dana jest zależnością:
    Definicja częstotliwości granicznej
    Natomiast dla filtru górnoprzepustowego należy w powyższej zależności zamienić miejscami częstotliwości występujące w ułamku.
    I z powyższej zależności należy wyznaczyć trzydecybelową wartość częstotliwości granicznej fGR postępując zgodnie z ogólnie znanymi tu regułami, a która tu będzie funkcją parametru fC, oraz rzędu n Filtru Butterwortha.

    Na zakończenie dopowiem, iż dla Filtru Czebyszewa zależność na Am(f) jest inna, a dla Filtru Bessela rozpatruje się charakterystykę fazową Φ(f).
  • #12
    jony
    Electronics specialist
    Ale i tak dalej nie rozumiem czemu jak dam
    R1=R2=10K i C1=2.2nF; C2=1.1nF
    I oblicze Fc=10.23KHz i to przy spadku -3dB.
    Definicja częstotliwości granicznej
    Co filtr z takimi wartościami nie jest już filtrem drugiego rzędu?
    Tylko pierwszego i dlatego wzór się zgadza?
    Więc jest tu jakieś zamieszanie.
    Czy istnieje jakaś ogólna definicja częstotliwości granicznej?
  • #13
    Quarz
    Level 43  
    Witam,
    jony wrote:
    Ale i tak dalej nie rozumiem czemu jak dam
    R1=R2=10K i C1=2.2nF; C2=1.1nF
    I oblicze Fc=10.23KHz i to przy spadku -3dB.
    Definicja częstotliwości granicznej
    Co filtr z takimi wartościami nie jest już filtrem drugiego rzędu?
    Tylko pierwszego i dlatego wzór się zgadza?
    Więc jest tu jakieś zamieszanie.
    Czy istnieje jakaś ogólna definicja częstotliwości granicznej?
    proste, i pisałem o tym w tym temacie tam: 25 Lut 2010 22:33:38 Re: Definicja częstotliwości granicznej, dla tak dobranych wartości parametrów elementów tego filtru aktywnego (wtórnikowego) spełnia on warunki nałożone na filtr o maksymalnie płaskiej charakterystyce amplitudowej - Filtr Butterwortha.
    Dla lepszego zrozumienia załączam skan jednej strony z książki - o której już tu napisałem - i myślę, że to wszystko wyjaśni:
    Definicja częstotliwości granicznej
    Wzór dotyczy dolnoprzepustowego Filtru Butterwortha, natomiast wykres jest sporządzony dla filtrów górnoprzepustowych od rzędu drugiego do rzędu siódmego - dla dolnoprzepustowych jest podobny, wystarczy 'odbić' względem pionowej osi symetrii i odwrócić dodatni kierunek osi odciętych.
    Zauważ, iż punkt wyznaczający częstotliwość graniczną; fC, jest tu niezmienny od rzędu filtru - liczby biegunów transmitancji napięciowej.

    Pozdrawiam
  • #14
    jony
    Electronics specialist
    Dalej mam pewne wątpliwości, bo nikt nie podał jasnej definicji częstotliwości granicznej.
    A wyglądną na to, że mamy kilka częstotliwości granicznej.
    "energetycznej częstotliwości granicznej" i zapewne ta wynikająca z tych sławnych biegunów i zer.

    Na dodatek wygląda na to, że wzór
    Definicja częstotliwości granicznej
    nie powstał z tego przyrównania
    $$\frac{Vout}{Vin}=\frac{1}{\sqrt{(1-\omega^2 R_1*R_2*C_1*C_2)^2+\omega^2*((R_1+R_2)*C_2)^2}}= \frac {1} {\sqrt2}$$
    Bo tak, to by chyba zawsze dawał porwany wynik.

    Ale za słaby jestem z królowej nauk by móc to zrozumieć patrząc na "wzór".

    Pozdrawiam
    Paweł
  • Helpful post
    #15
    Quarz
    Level 43  
    jony wrote:
    Dalej mam pewne wątpliwości, bo nikt nie podał jasnej definicji częstotliwości granicznej.
    A wyglądną na to, że mamy kilka częstotliwości granicznej.
    "energetycznej częstotliwości granicznej" i zapewne ta wynikająca z tych sławnych biegunów i zer.
    Definicja energetyczna częstotliwości granicznej pozostaje w mocy i nikt jej nie podważa, ale tak to jest jak rozpatruje się i analizuje 'knoty' ... :idea: :D
    Innymi słowy, przyjmuje za 'dobrą monetę' wszelką (nie)wiedzę, jaką WikiPedia podaje ...
    Już w drugim swoim poście napisałem co należy spełnić, aby było to poprawnie, oraz po myśli PP:
    R. P. Sallen & E. L. Key, 1955. “A practical method of designing RC active filters,” IRE Trans. on Circuit Theory CT-2, pp. 74–85.

    jony wrote:
    Na dodatek wygląda na to, że wzór
    Definicja częstotliwości granicznej
    nie powstał z tego przyrównania
    $$\frac{Vout}{Vin}=\frac{1}{\sqrt{(1-\omega^2 R_1*R_2*C_1*C_2)^2+\omega^2*((R_1+R_2)*C_2)^2}}= \frac {1} {\sqrt2}$$
    Bo tak, to by chyba zawsze dawał poprawny wynik.
    Ano nie powstał, ale - patrz wyżej do źródłowej literatury - jest to niepoprawny i werbalny sposób podejścia do tego zagadnienia.
    Przypomnę stare porzekadło informatyków - Garbage In, Garbage Out - które tu zaświęciło swój tryumf ...
    W teorii filtrów aktywnych o wielokrotnym sprzężeniu zwrotnym, czy w podobnych typu Sallen & Key, ta częstotliwość graniczna fC - tam definiowana - będzie zgodna z wartością energetycznej częstotliwości granicznej, ale wtedy i tylko wtedy, kiedy wartości parametrów elementów takiego filtru aktywnego będą spełniać wymogi co do rodzaju kształtu charakterystyki przenoszenia danego rodzaju filtru - Filtr Butterwortha, Filtr Bessela, Filtr Czebyszewa.
    I o tym też tu już napisałem, a potwierdzeniem tego jest - przedstawiona tu przez Kolegę - symulacja dla Filtru Butterwortha i kiedy przyjęto zalecane wartości parametrów elementów dla tego rodzaju filtru.

    jony wrote:
    Ale za słaby jestem z królowej nauk by móc to zrozumieć patrząc na "wzór".
    Ale 'dziadek' powiadał: "na naukę nigdy za późno" ... :idea: :!:
    Więc w czym problem?

    Pozdrawiam