Elektroda.pl
Elektroda.pl
X
Proszę, dodaj wyjątek dla www.elektroda.pl do Adblock.
Dzięki temu, że oglądasz reklamy, wspierasz portal i użytkowników.

[Automatyka] Stabilność układu

05 Sty 2011 23:15 5672 9
  • Poziom 10  
    Witam! Przygotowuję się do egzaminu z automatyki i od pewnego czasu nie mogę poradzić sobie z poniższym przykładem:

    Transmitancja układu: 4s^3+2s^2+s, sprzężenie zwrotne ma wartość 1. Muszę podać stabilność układu, i tu:

    Wg kryterium Hurwitza układ zamknięty jest niestabilny (det=2-4=-2<0)
    Wg kryterium Hurwitza układ otwarty jest niestabilny (jeden ze współczynników równy jest 0)
    Wg kryterium Nyquista układ otwarty jest stabilny (wykres mija punkt (-1;j0) po prawej stronie i już nie powraca w okolice osi, sprawdzone w matlabie)

    Poniżej zamieszczam moje obliczenia:
    [Automatyka] Stabilność układu

    To chyba niemożliwe, żeby wg Hurwitza układ był stabilny, a wg Nyquista nie, prawda? Gdzie leży błąd? Czy poprawnie interpretuję charakterystykę dla kryt. Nyquista?

    Przepraszam, jeśli pytanie jest idiotyczne, ale jestem absolutnym nowicjuszem w dziedzinie automatyki.

    Pozdrawiam!
    Jann
  • Poziom 43  
    Witam,
    JaNN353 napisał:
    Witam! Przygotowuję się do egzaminu z automatyki i od pewnego czasu nie mogę poradzić sobie z poniższym przykładem:

    Transmitancja układu: 4s^3+2s^2+s, sprzężenie zwrotne ma wartość 1. Muszę podać stabilność układu, i tu:

    Wg kryterium Hurwitza układ zamknięty jest niestabilny (det=2-4=-2<0)
    prawda, ale chętnie zobaczyłbym zapis źródłowy tego wyznacznika (i jeszcze jednego, choć zdegenerowanego do jednego elementu ...), a zamieszczone poniżej Twoje obliczenia są niekompletne.
    Wedle Imć Adolfa Hurwitza, to dla wielomianu stopnia trzeciego - w jego postaci kanonicznej mamy cztery wartości parametrów wielomianu - dla których należy znaleźć i policzyć - wg podanego "przepisu" - wartości dwóch wyznaczników; D1 i D2 oraz sprawdzić ich znak, a czego tam nie widzę, a więc Twoje obliczenia są niekompletne i mnie one nie przekonują ...

    JaNN353 napisał:
    Wg kryterium Hurwitza układ otwarty jest niestabilny
    A to niby dlaczego?
    JaNN353 napisał:
    (jeden ze współczynników równy jest 0)
    To znaczy który i co to ma do rzeczy?
    Wszak na tę okoliczność Imć Adolf Hurwitz podał inną postać swego Kryterium ...
    Patrz wyżej, oraz proszę o zamieszczenie kompletnego obliczenia dla układu otwartego ...

    JaNN353 napisał:
    Wg kryterium Nyquista układ otwarty jest stabilny (wykres mija punkt (-1;j0) po prawej stronie i już nie powraca w okolice osi, sprawdzone w matlabie)
    Prawda ...

    JaNN353 napisał:
    Poniżej zamieszczam moje obliczenia:
    [Automatyka] Stabilność układu

    To chyba niemożliwe, żeby wg Hurwitza układ był stabilny, a wg Nyquista nie, prawda?
    Jaki układ? - pisz jednoznacznie ...

    JaNN353 napisał:
    Gdzie leży błąd? Czy poprawnie interpretuję charakterystykę dla kryt. Nyquista?

    Przepraszam, jeśli pytanie jest idiotyczne, ale jestem absolutnym nowicjuszem w dziedzinie automatyki.
    Patrz wyżej ...

    Pozdrawiam
  • Poziom 10  
    Quarz napisał:
    prawda, ale chętnie zobaczyłbym zapis źródłowy tego wyznacznika (i jeszcze jednego, choć zdegenerowanego do jednego elementu ...), a zamieszczone poniżej Twoje obliczenia są niekompletne.

    Code:

    a3=4,a2=2,a1=1,a0=1

    D1 = det|2 4| = 2*1-4*1 = -2
            |1 1|

    D2 = det |2|=2


    Quarz napisał:

    JaNN353 napisał:
    Wg kryterium Hurwitza układ otwarty jest niestabilny
    A to niby dlaczego?
    JaNN353 napisał:
    (jeden ze współczynników równy jest 0)
    To znaczy który i co to ma do rzeczy?
    Wszak na tę okoliczność Imć Adolf Hurwitz podał inną postać swego Kryterium ...
    Patrz wyżej, oraz proszę o zamieszczenie kompletnego obliczenia dla układu otwartego ...


    Dla układu otwartego transmitancja zastępcza Go przyjmuje postać (4s^3+2s^2+s)*1. Zatem a3=4, a2=2, a1=1, a0=0.
    Code:

    D1 = det|2 4| = 2*1-4*0 = 2
            |0 1|

    D2 = det |2|=2


    Moja książka do automatyki podaje następujące brzmienie kryterium Hurwitza:
    Tadeusz Kołacin napisał:

    1. Wszystkie współczynniki ai istnieją i są dodatnie
    2. Wszystkie podwyznaczniki wyzn. głównego są większe od zera.
    Jeśli warunki nie są spełnione, układ jest niestabilny.

    Jeśli zatem współczynnik a0=0, według mojej książki układ jest niestabilny.


    Quarz napisał:
    Jaki układ? - pisz jednoznacznie ...

    Układ otwarty.

    Pozdrawiam i bardzo proszę o dalsze uwagi.
  • Poziom 43  
    JaNN353 napisał:
    Quarz napisał:
    prawda, ale chętnie zobaczyłbym zapis źródłowy tego wyznacznika (i jeszcze jednego, choć zdegenerowanego do jednego elementu ...), a zamieszczone poniżej Twoje obliczenia są niekompletne.

    Code:

    a3=4,a2=2,a1=1,a0=1

    D1 = det|2 4| = 2*1-4*1 = -2
            |1 1|

    D2 = det |2|=2
    Nie zapisałeś w/w wyznaczników w postaci ogólnej - wzory - widzę tylko podstawienia liczbowe, a ponieważ w pierwszym przypadku występuje w wyznaczniku wartość 1 dwa razy, więc nie mogę sprawdzić Twojego zapisu jednoznacznie ...
    Jak będziesz to liczył na własny użytek, to możesz sobie tak liczyć - na skróty - ale tu (i na egzaminie też) ma być wszystko jednoznacznie podane ...

    JaNN353 napisał:
    Quarz napisał:

    JaNN353 napisał:
    Wg kryterium Hurwitza układ otwarty jest niestabilny
    A to niby dlaczego?
    JaNN353 napisał:
    (jeden ze współczynników równy jest 0)
    To znaczy który i co to ma do rzeczy?
    Wszak na tę okoliczność Imć Adolf Hurwitz podał inną postać swego Kryterium ...
    Patrz wyżej, oraz proszę o zamieszczenie kompletnego obliczenia dla układu otwartego ...


    Dla układu otwartego transmitancja zastępcza Go(s) przyjmuje postać (4s^3+2s^2+s)*1. Zatem a3=4, a2=2, a1=1, a0=0.
    Code:

    D1 = det|2 4| = 2*1-4*0 = 2
            |0 1|

    D2 = det |2|=2
    Jak wyżej odnośnie zapisu wyznaczników, ale tu masz obie wartości nieujemnie ...

    JaNN353 napisał:
    Moja książka do automatyki podaje następujące brzmienie kryterium Hurwitza:
    Tadeusz Kołacin napisał:

    1. Wszystkie współczynniki ai istnieją i są dodatnie
    2. Wszystkie podwyznaczniki wyzn. głównego są większe od zera.
    Jeśli warunki nie są spełnione, układ jest niestabilny.
    Jak dla mnie to za mało danych, abym mógł odnaleźć jednoznacznie przedmiotową książkę i do niej zajrzeć ...

    JaNN353 napisał:
    Jeśli zatem współczynnik a0=0, według mojej książki układ jest niestabilny.
    Na temat 'szalbierstwa' - zresztą podanego przez samego Imć Adolfa Hurwitza - co zrobić jak parametr a0 (wyraz wolny) przyjmuje wartość zero to już napisałem wcześniej, a więc nie widzę powodu abym miał powtarzać się.
    Istnieją też inne kryteria badania stabilności układów automatyki opisanych analitycznie za pomocą transmitancji operatorowych.
    Zaś forum to, czy inne, to nie miejsce na pobieranie 'Nauk u Podstaw' - w tym celu studiujesz (jak mniemam) na PW ...

    JaNN353 napisał:
    Quarz napisał:
    Jaki układ? - pisz jednoznacznie ...

    Układ otwarty.
    Aaa ..., a to popatrz coś tam powypisywał ...

    JaNN353 napisał:
    Pozdrawiam i bardzo proszę o dalsze uwagi.
    Toć to jest klasyka - i mi znana od lat przeszło czterdziestu - więc co jeszcze mam napisać?
    Co miałem tu do napisania, to już napisałem w moim poprzednim poście, a "gotowca" ode mnie nie dostaniesz - zaś stare porzekadło Starozakonnych prawi:
    'jak nie najadłeś się do syta w jednej gospodzie, to idź do innej' ... :idea: :D ... i mam tu na myśli Twoje pomoce naukowe ... :!: :roll:

    Pozdrawiam
  • Poziom 10  
    Quarz napisał:
    prawda, ale chętnie zobaczyłbym zapis źródłowy tego wyznacznika (i jeszcze jednego, choć zdegenerowanego do jednego elementu ...)

    Układ zamknięty:
    Code:

    D1 = det|a2 a3| = 2*1-4*1 = -2
            |a0 a1|

    D2 = det |a2|=2

    Ukł. otwarty:
    Code:

    D1 = det|a2 a3| = 2*1-4*0 = 2
            |a0 a1|

    D2 = det |a2|=2


    Quarz napisał:
    To znaczy który [ze współczynników równy jest 0] i co to ma do rzeczy?
    Wszak na tę okoliczność Imć Adolf Hurwitz podał inną postać swego Kryterium ...


    Książka "Podstawy teorii maszyn i automatyki" Tadeusz Kołacin, wyd. PW, Warszawa 2005.

    Znalazłem inną książkę, "Automatyka - podstawy teorii" Andrzeja Dębowskiego.
    Układ dynamiczny (...) jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy poszczególne podwyznaczniki tablicy Hurwitza utworzonej dla dodatnich współczynników a(n),...,a1,a0 są większe od zera.

    W podanej na Wikipedii definicji kryterium Hurwitza warunkiem jest, by # Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istniały i były tego samego znaku.

    Tamże:
    Wiki napisał:
    2. W przeciwnym razie układ jest niestabilny. Jeśli jednak któryś z podwyznaczników jest równy zeru, a pozostałe warunki są spełnione, to układ znajduje się na granicy stabilności.

    Tylko że to nie z podwyznacznikami, a z istnieniem i dodatniością współczynników mam problem - współczynnik a0 dla układu otwartego jest równy zero. I nie znalazłem nigdzie postaci kryterium Hurwitza na tę okoliczność.
  • Pomocny post
    Poziom 43  
    JaNN353 napisał:
    Quarz napisał:
    prawda, ale chętnie zobaczyłbym zapis źródłowy tego wyznacznika (i jeszcze jednego, choć zdegenerowanego do jednego elementu ...)

    Układ zamknięty:
    Code:

    D1 = det|a2 a3| = 2*1-4*1 = -2
            |a0 a1|

    D2 = det |a2|=2

    Ukł. otwarty:
    Code:

    D1 = det|a2 a3| = 2*1-4*0 = 2
            |a0 a1|

    D2 = det |a2|=2
    A to już jest 'zjadliwe' ...

    JaNN353 napisał:
    Quarz napisał:
    To znaczy który [ze współczynników równy jest 0] i co to ma do rzeczy?
    Wszak na tę okoliczność Imć Adolf Hurwitz podał inną postać swego Kryterium ...


    Książka "Podstawy teorii maszyn i automatyki" Tadeusz Kołacin, wyd. PW, Warszawa 2005.
    To dość 'młody' podręcznik i nie znam go, a w 2005 roku to już byłem na emeryturze ...

    JaNN353 napisał:
    Znalazłem inną książkę, "Automatyka - podstawy teorii" Andrzeja Dębowskiego.
    Układ dynamiczny (...) jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy poszczególne podwyznaczniki tablicy Hurwitza utworzonej dla dodatnich współczynników a(n),...,a1,a0 są większe od zera.
    I to jest prawda i jest to zgodne z powszechnie znanym Kryterium Hurwitza - jakie można spotkać w wielu porządnych książkach.

    JaNN353 napisał:
    W podanej na Wikipedii definicji kryterium Hurwitza warunkiem jest, by # Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istniały i były tego samego znaku.

    Tamże:
    Wiki napisał:
    2. W przeciwnym razie układ jest niestabilny. Jeśli jednak któryś z podwyznaczników jest równy zeru, a pozostałe warunki są spełnione, to układ znajduje się na granicy stabilności.
    WikiPedia jest w wielu miejscach pełna błędów i wypaczeń, więc należy do podanej tam wiedzy podchodzić bardzo krytycznie.

    Już napisałem wcześniej - nie zawsze Kryterium Hurwitza rozstrzyga to jednoznacznie i nie jest to antydotum na wszystkie przypadki ...
    Są jeszcze inne Kryteria Badania Stabilności Wielomianów, ponieważ w praktyce do tego to sprowadza się.

    JaNN353 napisał:
    Tylko że to nie z podwyznacznikami, a z istnieniem i dodatniością współczynników mam problem - współczynnik a0 dla układu otwartego jest równy zero. I nie znalazłem nigdzie postaci kryterium Hurwitza na tę okoliczność.
    Patrz wyżej ....
    A teraz niech dana transmitancja układu otwartego:
    T(s) = 4•s^3 + 2•s^2 + 1•s,
    zostanie przedstawiona w postaci:
    T(s) = s•(4•s^2 + 2•s + 1) = s•(T1(s)),
    a więc:
    T1(s) = 4•s^2 + 2•s + 1,
    zaś dla równania charakterystycznego:
    R(s) = 4•s^2 + 2•s + 1 = 0,
    mamy jego pierwiastki:
    s1 = (-1 - j•√3)/4,
    s2 = (-1 + j•√3)/4.
    Jak widać, w/w pierwiastki równania charakterystycznego: R(s) = 0, mają swe części rzeczywiste ujemne, a to jest warunkiem koniecznym i dostatecznym - odsyłam do stosownej literatury i teorii na ten temat - stabilności wielomianu: T1(s).
    I to jest fundamentalną podstawą - ujemne wartości części rzeczywiste wszystkich pierwiastków wielomianu - dowodzenia poprawności sformułowanego przez Imć Adolfa Hurwitza Jego Kryterium, a którą to pracę:
    Adolf Hurwitz, "‘On the conditions under which an equation has only roots with negative real parts", Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory - 1964, swego czasu przeczytałem w oryginale, ale nie tylko, również, np.:
    Andrzej Turowicz, "Geometria Zer Wielomianów", PWN, Warszawa 1967, z serii: Biblioteka Naukowa Inżyniera, oraz wiele innych monografii.
  • Poziom 10  
    Bardzo dziękuję!
  • Poziom 43  
    JaNN353 napisał:
    Bardzo dziękuję!
    Proszę bardzo - cała przyjemność po mojej stronie ... :idea: :D
  • Poziom 10  
    Rany, strasznie przepraszam, ale jeszcze jedna rzecz mnie zastanawia. Transmitancją mojego układu jest jednak T(s), a nie T1(s). Co w takim razie z trzecim pierwiastkiem wielomianu, s3=0?
  • Poziom 43  
    JaNN353 napisał:
    Rany, strasznie przepraszam, ale jeszcze jedna rzecz mnie zastanawia. Transmitancją mojego układu jest jednak T(s), a nie T1(s). Co w takim razie z trzecim pierwiastkiem wielomianu, s3=0?
    Na to pytanie odpowiedzi poszukaj sobie w stosownych podręcznikach ... :idea: :D