charakterystykę częstotliwościową możesz sobie wyznaczyć podstawiając za rezystory reaktancje, czyli opory zależne od częstotliwości
Zależność reaktancji (X, w Ω) od częstotliwości(f w Hz):
X=1/2ΠfC
C to pojemność (w faradach)
X1 to reaktancja kondensatora C1, X2 to C2
i dalej liczysz, jak dla rezystorów
najpierw pomocnicza zmienna, żeby nie robić "wzora-potwora", czyli równoległe połączenie C1 z szeregowym R2 i C2 $$s=\frac{(R_2+X_2) \cdot X_1}{(R_2+X_2) + X_1}$$
Teraz wartość napięcia "widziana" na połączeniu R1 z C1 dla uproszczenia jakaś tam transmitancja T1 (nie pamiętam, jak się transmitancję oznaczało ), żeby uzyskać napięcie wyjściowe mnożysz napięcie wejściowe przez transmitancję. Liczymy tak jak zwykły dzielnik napięcia:
$$T_1=\frac{s}{R_1+s}$$
teraz transmitancja drugiej sekcji (R2, C2):
$$T_2=\frac{X_2}{R_2+X_2}$$
mnożymy obie transmitancje i mamy transmitancję całego filtru:
żeby znaleźć częstotliwość charakterystyczną filtru fC (czyli taką, przy której transmitancja wynosi -3dB, czyli (√2)/2, należy podstawić za transmitancję -3dB, za X1 i X2 wzór podany na samej górze, i przekształcić tak, aby uzyskać f, wzór będzie większy niż duży , jak widać na załączonym obrazku, MathCAD odmówił współpracy
różne wartości stosuje się żeby wyeliminować zjawisko "rozsuwania biegunów", połączone kaskadowo dwa takie same filtry wcale nie tłumią o 12 dB na oktawę, tylko nieco powyżej 6 dB
Co do zasad projektowania, to nie wiem jak, pozostawiłem to inżynierom z Texas Instruments i filtry projektuję za pomocą programu FilterPro (na elektrodzie dawałem kiedyś linka)
Na drodze symulacji fC tego filtru wynoci 52.8Hz
-------
P.S. mam nadzieję, że nic nie pokaszaniłem w tych wzorach
O nieco ponad 6dB to tłumią dwa takie same ogniwa filtru połączone w kaskadę, odpowiednio przeliczone dwa różne ogniwa połączone w kaskadę zapewniają tłumienie 12dB/okt.
To tłumienie "nieco ponad 6dB", nie występuje jednak w całym zakresie, tylko na pewnym odcinku charakterystyki poniżej fc pojedynczej sekcji, dla f>>fc charakterystyka opada już z szybkością 12 dB/oktawę.
Chociaż, to łaczenie kaskadowe takich samych sekcji, to też nie do końca prawda, bo na przykład w technice w.cz. można stosować kaskady takich samych filtrów, ale jest jeden warunek - filtry muszą mieć taką samą impedancję wejściową i wyjściową. Zresztą nawet w zastosowaniach audio trzeba brać pod uwagę impedancje.
Np.
filtr RC R=1k, C=100nF ma fc=1.59kHz
filtr z R=1ohm i C=100µF też ma fc=1.59kHz,
ale dla fc pierwszy filtr ma impedancję wejściową ok. 2kohm, a drugi ok 2ohm.
A cały sens rozsuwania biegunów jest taki:
Jak już widziałeś, kondensatory zostały zastąpione reaktancjami, od wartości tych reaktancji zależy częstotliwość fc filtru.
Rozpatrzmy na razie pojedynczy filtr RC
częstotliwość fc takiego filtru to:
$$f_C=\frac{1}{2 \pi R C}$$
Więc im mniejsza wartość pojemności, tym większa fc.
A im mniejsza pojemność tym większa reaktancja, odwrotnie - większa reaktancja = mniejsza pojemność, czyli mniejsza reaktancja = większa pojemność, a większa pojemność = mniejsza fc.
a teraz wyobraź sobie że do wyjścia naszego filtru podłączamy dodatkową sekcję, czyli de facto podłączamy ją równolegle z reaktancją X1 (w/g oznaczeń z poprzedniego posta), w efekcie powstaje równoległe połączenie reaktancji X1 z impedancją R2+X2 (impedancja to połączenie rezystancji i reaktancji, więc reaktancja to też impedancja, tylko że o zerowej składowej rzeczywistej (rezystancyjnej), żeby nie było że coś kręcę łącząc impedancję i reaktancję ), to połączenie oznaczyłem jako s. W efekcie reaktancja (a właściwie to już teraz impedancja) dolnej gałęzi filtru staje się mniejsza, wobec czego zmniejsza się także fc pierwszego ogniwa, to jest właśnie rozsuwanie biegunów. Dodatkowo należało by jeszcze uwzględnić przesunięcia fazowe na wszystkich elementach reaktancyjnych, co można "załatwić" operując na liczbach zespolonych.
Załóżmy, że połączyłeś tak dwa filtry o fc = 1kHz.
przez dołączenie drugiej sekcji fc sekcji pierwszej (fc1) spadła powiedzmy do 0.8kHz, a fc drugiego filtru (fc2) pozostała taka sama (fc2=fc).
w związku z tym dla częstotliwości fc tłumienie nie będzie równe pożżdanemu 3dB, tylko 3dB+tłumienie pierwszej sekcji dla fc, czyli w sumie na pewno więcej niż 6dB.
No i właśnie wykumałem, że jednak umiem projektować filtry wieloogniwowe
Trzeba to zrobić tak:
Projektowanie zaczynamy od końca, tworzymy jedną sekcję RC o pożądanej fc, obliczamy jej impedancję wejściową (Z).
Teraz przyszła kolej na pierwszą sekcję (R1, C1, przy czym C1 zastąpimy impedancją Z1), należy ją zaprojektować tak, aby po dołączeniu do impedancji Z1 impedancji Z uzyskać taką imedancję, która połączona z rezystorem R1 utworzy coś w rodzaju pojedynczej sekcji R1, Z+Z1 o pożądanej fc.
W praktyce pierwsza sekcja będzie miała fc większą od fc pojedynczego ogniwa.
Na obrazku masz charakterystykę swojego filtru (zielony), samej tylko pierwszej sekcji (żółty) z markerem ustawionym na jej fc (jak widać większej niż fc filtru), na niebiesko zaznaczona jest charakterystyka "obciążonej" pierwszej sekcji.
Połączyłem też dwie takie same pierwsze sekcje, kolorem purpurowym zaznaczona jest charakterystyka pierwszej sekcji (obciążonej), widać wyraźnie, że jej fc spadała poniżej fc pojedynczej sekcji, na pomarańczowo zaznaczona jest wypadkowa charakterystyka filtru, również widać, że jej fc jest niższe.
Ale liczenie takich filtrów na papierze nie należy do najprostszych, trzeba raczej operować na liczbach zespolonych, obecnie filtry projektuje się przy pomocy komputerów, kiedyś za pomocą tabel
Co do filtrów aktywnych - tu nie ma nic nowego wzory są wciąż te same, ale projektowanie filtru jest znacznie prostsze, a dlaczego?
weźmy wzmacniacz o wzmocnieniu = 1 (czyli tzw. separator) o nieskończenie dużej impedancji wyjściowej (typowe wzmacniacze operacyjne pracujące w konfiguracji nieodwracającej mają impedancję wejściową rzędu gigaomów, więc można ją pominąć). Połączenie równoległe impedancji Z z nieskończenie wielką impedancją ma wciąż impedancję Z, czyli dołączając wejście wzmacniacza do wyjścia pojedynczego ogniwa filtru RC nie występuje zjawisko rozsuwania biegunów i fc zostaje zachowana. a jeżeli teraz podłączymy wyjście tego wzmacniacza do wejścia drugiego takiego samego ogniwa RC, to uzyskamy filtr dwuogniwowy o szybkości opadania charakterystyki 12dB/oktawę i nie trzeba się bawić w obliczenia.
Reasumując, można łączyć takie same sekcje w celu uzyskania większej szybkości opadania charakterystyki pod warunkiem że pomiędzy wszystkie sekcje włączymy separatory.
I jeszcze odnośnie aktywnego filtru LC - w rzeczywistości taki filtr zbydowany jest z rezystorów i kondensatorów, ale kondensator włączony w pętlę ujemnego sprzężenia zwrotnego wzmacniacza operacyjnego zachowuje się jak indukcyjność.
tak, dodatkowa sekcja zawsze zwiększy szybkość opadania, ale dopiero dla częstotliwości większej od fc drugiej sekcji.
pomiędzy fc pierwszej, a fc drugiej sekcji szybkość opadania będzie wynosić ok 6dB na oktawę.
), żeby uzyskać napięcie wyjściowe mnożysz napięcie wejściowe przez transmitancję. Liczymy tak jak zwykły dzielnik napięcia:
, jak widać na załączonym obrazku, MathCAD odmówił współpracy 
