logo elektroda
logo elektroda
X
logo elektroda
Adblock/uBlockOrigin/AdGuard mogą powodować znikanie niektórych postów z powodu nowej reguły.

Twierdzenie Kotelnikowa-Shannona

pbartosz 30 Gru 2011 23:19 3187 2
  • #1 10326587
    pbartosz
    Poziom 10  
    Chciałbym rozwiać moje wątpliwości dotyczące teorii próbkowania sygnałów.

    Czy dobrze rozumiem, że twierdzenie Kotielnikowa-Shannona mówi, że mając sygnał, którego nie posiada składowych o częstotliwości równej i większej niż B (czyli z przedziału $$(-B,B)$$) oraz jeśli mamy nieskończony ciąg próbek pobierany w odstępach czasy 1/2B indeksowany od $$-\infty$$ do $$+\infty$$, to możemy dokładnie odtworzyć sygnał próbkowany.
    Dowód rozumiem tak:
    1. $$x(t)$$ (próbkowany sygnał) możemy przedstawić jako całkę ze wzoru na FFT.
    2. Przedział całkowania możemy ograniczyć do $$(-B,B)$$.
    3. Jeśli podstawimy za $$t=\frac{n}{2B}$$, gdzie n od $$-\infty$$ do $$+\infty$$, to całka FFT dla $$f\left( \frac{n}{2B} \right)$$ ma postać współczynnika zespolonego szeregu Fouriera o indeksie n.
    (Źródło: http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem )

    Stąd mając taki nieskończony ciąg próbek indeksowany od $$-\infty$$ do $$+\infty$$, podstawiając próbki w miejsce współczynników we wzorze na zespolony szereg Fouriera, możemy uzyskać funkcję okresową o okresie 2B, która w przedziale $$(-B,B)$$ przyjmuje te same wartości, co widmo częstotliwości naszego sygnału. Biorąc z tej funkcji tylko przedział $$(-B,B)$$, możemy dokładnie odtworzyć nasz próbkowany sygnał.

    Czyli twierdzenie to mówi tylko o sygnałach, które zawierają częstotliwości mniejsze niż częstotliwość próbkowania. Nie mówi (!) natomiast co dzieje się, gdy sygnał zawiera składowe o częstotliwościach większych lub równych częstotliwości próbkowania.
    Tutaj wchodzi odrębne pojęcie aliasingu, które mówi, że jeśli w sygnale mamy częstotliwość składową f_0 większą niż częstotliwość próbowania $$f_s$$, to po przepuszczeniu przez transformatę Fouriera lub DFT będzie ona rozpoznana jako składowa o częstotliwości $$f = [n \cdot f_s - f_0]$$, gdzie $$n \cdot f_s$$ to wielokrotność częstotliwości próbkowania leżąca najbliżej $$f_0$$.

    Jeśli moje powyższe rozumowanie jest poprawne, to nie rozumiem jeszcze relacji zachodzącej pomiędzy twierdzeniem Kotelnikowa-Shannona, a DFT.
    Z definicji aliasingu wnioskuję tylko, że jeśli częstotliwość próbkowania jest $$>$$ od największej składowej, to aliasing nie wystąpi. Ale co z odtwarzalnością sygnału? W twierdzeniu korzystam z FT i zespolonego szeregu Fouriera, a tutaj jest DFT i IDFT.
    Oczywiście aliasing może w FT i DFT występować, ale co ma do tego powyższe twierdzenie?

    Łopatologicznie proszę. :)
  • #2 10354909
    pimpuk
    Poziom 23  
    Twierdzenie Kotielnikowa-Shannona właśnie mówi, że nie da się odtworzyć widma sygnału, którego częstotliwość jest większa od 1/2 częstotliwości próbkowania.
    Chcesz cyfrowo przetwarzać sygnały, musisz to uwzględnić obcinając widmo powyżej 1/2B.
    W praktyce, nie występują idealne filtry i aliasing zawsze wystąpi. Dla tego trzeba implementować algorytm FFT.
  • #3 10548680
    vadkudr
    Poziom 12  
    co dzeje sie poza (-B,B) ?
    Kiedy pan probkuje sygnal, pan uwaza na to ze spectrum probkovanego sygnaly otrymuje peryodyczny. To znachy, zhe spectrum (B,3B) bedze takim ze jak i v interwale (-B,B).
    oryginalny contynujowy sygnal jczywiescie nie jest takim.

    Po probkovanju, wszystkie znaczenia spectruma na czenstotliwosciah
    x+2B*k (k=-Inf...Inf) bede sumowany i podstawieny na czenstotliwosc x.

    To jest spectrum bendzie peryodyczne zwiernuty. To jest przyczyne, dlaczego potrbny filter przhed probkovaniem filter (-B,B). Zheby outsiderskie czenstotliwoscie nie marnowali spectruma
REKLAMA