Chciałbym rozwiać moje wątpliwości dotyczące teorii próbkowania sygnałów.
Czy dobrze rozumiem, że twierdzenie Kotielnikowa-Shannona mówi, że mając sygnał, którego nie posiada składowych o częstotliwości równej i większej niż B (czyli z przedziału $$(-B,B)$$) oraz jeśli mamy nieskończony ciąg próbek pobierany w odstępach czasy 1/2B indeksowany od $$-\infty$$ do $$+\infty$$, to możemy dokładnie odtworzyć sygnał próbkowany.
Dowód rozumiem tak:
1. $$x(t)$$ (próbkowany sygnał) możemy przedstawić jako całkę ze wzoru na FFT.
2. Przedział całkowania możemy ograniczyć do $$(-B,B)$$.
3. Jeśli podstawimy za $$t=\frac{n}{2B}$$, gdzie n od $$-\infty$$ do $$+\infty$$, to całka FFT dla $$f\left( \frac{n}{2B} \right)$$ ma postać współczynnika zespolonego szeregu Fouriera o indeksie n.
(Źródło: http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem )
Stąd mając taki nieskończony ciąg próbek indeksowany od $$-\infty$$ do $$+\infty$$, podstawiając próbki w miejsce współczynników we wzorze na zespolony szereg Fouriera, możemy uzyskać funkcję okresową o okresie 2B, która w przedziale $$(-B,B)$$ przyjmuje te same wartości, co widmo częstotliwości naszego sygnału. Biorąc z tej funkcji tylko przedział $$(-B,B)$$, możemy dokładnie odtworzyć nasz próbkowany sygnał.
Czyli twierdzenie to mówi tylko o sygnałach, które zawierają częstotliwości mniejsze niż częstotliwość próbkowania. Nie mówi (!) natomiast co dzieje się, gdy sygnał zawiera składowe o częstotliwościach większych lub równych częstotliwości próbkowania.
Tutaj wchodzi odrębne pojęcie aliasingu, które mówi, że jeśli w sygnale mamy częstotliwość składową f_0 większą niż częstotliwość próbowania $$f_s$$, to po przepuszczeniu przez transformatę Fouriera lub DFT będzie ona rozpoznana jako składowa o częstotliwości $$f = [n \cdot f_s - f_0]$$, gdzie $$n \cdot f_s$$ to wielokrotność częstotliwości próbkowania leżąca najbliżej $$f_0$$.
Jeśli moje powyższe rozumowanie jest poprawne, to nie rozumiem jeszcze relacji zachodzącej pomiędzy twierdzeniem Kotelnikowa-Shannona, a DFT.
Z definicji aliasingu wnioskuję tylko, że jeśli częstotliwość próbkowania jest $$>$$ od największej składowej, to aliasing nie wystąpi. Ale co z odtwarzalnością sygnału? W twierdzeniu korzystam z FT i zespolonego szeregu Fouriera, a tutaj jest DFT i IDFT.
Oczywiście aliasing może w FT i DFT występować, ale co ma do tego powyższe twierdzenie?
Łopatologicznie proszę.
Czy dobrze rozumiem, że twierdzenie Kotielnikowa-Shannona mówi, że mając sygnał, którego nie posiada składowych o częstotliwości równej i większej niż B (czyli z przedziału $$(-B,B)$$) oraz jeśli mamy nieskończony ciąg próbek pobierany w odstępach czasy 1/2B indeksowany od $$-\infty$$ do $$+\infty$$, to możemy dokładnie odtworzyć sygnał próbkowany.
Dowód rozumiem tak:
1. $$x(t)$$ (próbkowany sygnał) możemy przedstawić jako całkę ze wzoru na FFT.
2. Przedział całkowania możemy ograniczyć do $$(-B,B)$$.
3. Jeśli podstawimy za $$t=\frac{n}{2B}$$, gdzie n od $$-\infty$$ do $$+\infty$$, to całka FFT dla $$f\left( \frac{n}{2B} \right)$$ ma postać współczynnika zespolonego szeregu Fouriera o indeksie n.
(Źródło: http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem )
Stąd mając taki nieskończony ciąg próbek indeksowany od $$-\infty$$ do $$+\infty$$, podstawiając próbki w miejsce współczynników we wzorze na zespolony szereg Fouriera, możemy uzyskać funkcję okresową o okresie 2B, która w przedziale $$(-B,B)$$ przyjmuje te same wartości, co widmo częstotliwości naszego sygnału. Biorąc z tej funkcji tylko przedział $$(-B,B)$$, możemy dokładnie odtworzyć nasz próbkowany sygnał.
Czyli twierdzenie to mówi tylko o sygnałach, które zawierają częstotliwości mniejsze niż częstotliwość próbkowania. Nie mówi (!) natomiast co dzieje się, gdy sygnał zawiera składowe o częstotliwościach większych lub równych częstotliwości próbkowania.
Tutaj wchodzi odrębne pojęcie aliasingu, które mówi, że jeśli w sygnale mamy częstotliwość składową f_0 większą niż częstotliwość próbowania $$f_s$$, to po przepuszczeniu przez transformatę Fouriera lub DFT będzie ona rozpoznana jako składowa o częstotliwości $$f = [n \cdot f_s - f_0]$$, gdzie $$n \cdot f_s$$ to wielokrotność częstotliwości próbkowania leżąca najbliżej $$f_0$$.
Jeśli moje powyższe rozumowanie jest poprawne, to nie rozumiem jeszcze relacji zachodzącej pomiędzy twierdzeniem Kotelnikowa-Shannona, a DFT.
Z definicji aliasingu wnioskuję tylko, że jeśli częstotliwość próbkowania jest $$>$$ od największej składowej, to aliasing nie wystąpi. Ale co z odtwarzalnością sygnału? W twierdzeniu korzystam z FT i zespolonego szeregu Fouriera, a tutaj jest DFT i IDFT.
Oczywiście aliasing może w FT i DFT występować, ale co ma do tego powyższe twierdzenie?
Łopatologicznie proszę.
