logo elektroda
logo elektroda
X
logo elektroda
REKLAMA
REKLAMA
Adblock/uBlockOrigin/AdGuard mogą powodować znikanie niektórych postów z powodu nowej reguły.

Czy ktoś potrafi rozwiązać macierz

john_t 08 Mar 2005 10:47 4410 7
REKLAMA
  • #1 1297034
    john_t
    Poziom 29  
    Dany jest układ równań:
    M*c = z ; gdzie c = [c2, c3, c4 ,c5]
    Prawe strony: z = [z1, z2, z3, z4] = [-1, -3, 3, 1]
    Oraz macierz układu:
    M=
    |2 2/3 0 0 |
    |2/3 2 1/3 0 |
    |0 1/3 2 2/3|
    |0 0 2/3 2 |

    Rozwiązaniem układu jest:
    C2=3/26, c3=-48/26, c4=48/26, c5=-3/26

    Pytanie skąd biorą się te współczynniki "c" ?
  • REKLAMA
  • #2 1298746
    kpodstawa
    Poziom 33  
    Jeżeli jest to układ 4 równań liniowych z 4 niewiadomymi, to wektor
    rozwiązań C można otrzymać analitycznie z przekształcenia
    [Macierz odwrotna do M]*M*C=[Macierz odwrotna do M]*Z,
    czyli pomnożenie obu stron równania przez "[Macierz odwrotna do M]"
    (sprawdź w podręczniku do matematyki, czy mnożenie ma być na lewo
    czy na prawo od C i Z, bo już zapomniałem)

    Ponieważ [Macierz odwrotna do M]*M=[Macierz Jednostkowa] (jedynki
    na przekątnej głównej, inne wyrazy to zera), więc rozwiązanie układu
    równań sprowadza się do znalezienia macierzy odwrotnej do M. Wzoru już
    nie pamiętam, ale jest w każdym podręczniku algebry akademickiej

    Dla rozmiaru 4x4 da się jeszcze rozwiązać ręcznie, ale jest to już żmudne

    Inna metoda analityczna to metoda Cramera, łatwiejsza do zastosowania
    ale też wymaga pracowitości i staranności w zastosowaniu ręcznym.
    Też jest dobrze opisana w podręcznikach, nawet dla szkół średnich

    Najczęściej stosuje się metody numeryczne, które są szybkie i łatwe
    do zastosowania w komputerze oraz dobrze opisane w podręcznikach,
    ale sądząc po postaci rozwiązania, czyli ułamkach klasycznych,
    prawdopodbnie pracowicie zastosowano ręczną metodę Cramera
  • REKLAMA
  • #3 1302105
    _jta_
    Specjalista elektronik
    Ta macierz ma symetrię ze względu na obrót o 180 stopni, i ze względu na transpozycję,
    a wektor 'z' jest antysymetryczny ze względu na zamianę numeracji składników na odwrotną;
    to oznacza, że rozwiązanie też jest antysymetryczne, i pozwala zredukować ilość równań do 2.
  • #4 1302957
    john_t
    Poziom 29  
    Zgadza się ta macierz ma symetryczne składniki a "linią" symetrii jest zbiór składników od lewego górnego rogu do dolnego prawego.
    No dobrze ale co dalej z równaniem: MxC=Z ?
    Jak to przekształcić celem uzyskania 4-ch składników C ?
  • REKLAMA
  • #5 1304555
    polik80
    Poziom 14  
    krótko mówiąc liczysz macież odwrotną do macierzy m ja nazwę ją m' i mnożysz z z czyli
    c=z*m'
    dokładnie tak jak napisał kpodstawa
    tu masz kilka podstawowych własności
    jesli mój kalkulator jeszcze dobrze liczy to
    m'=
    |279/494 -48/247 9/247 -3/247 |
    |-24/247 144/247 -27/247 9/247 |
    |9/247 -27/247 144/247 -48/247 |
    |-3/247 9/247 -48/247 279/494 |
    i wszystko wychodzi elegancko tak jak w wynikach które podałeś,
    tyle że wg mnie w przykładzie który podałeś powinno być c*m=z
    a nie m*c=z
    dla tego że nie można pomnożyć macierzy kwadratowej przez macierz wierszową co innego gdyby to była macierz kolumnowa
    a tu masz kilka podstawowych własności i definicji http://mosthigh.republika.pl/macierze_i_wyznaczniki.htm
  • REKLAMA
  • #6 1305420
    john_t
    Poziom 29  
    Polik80
    Jak wyznaczyłeś macierz odwrotną? bo dalej nie kumam...
    Czy mógłbyś tu zajrzeć (str.6 , przykład 2.4.3): www.issi.uz.zgora.pl/~jacewicz/rachmac.pdf
    i wytłumaczyc skąd się wzięła prawa storna macierzy [A|I] ?
    a dokładniej:

    [A|I] =
    |1 1 1 0|
    | | |
    |3 0 0 1|

    Chodzi o człon
    1 0
    0 1
    Dalej już rozumiem.
  • #7 1306260
    polik80
    Poziom 14  
    Wiesz miałem to jakiś czas temu więc nie jestem na 100% pewien powiedzmy tylko na 90%.
    Ja takie macierze odwracam na kalkulatorze.
    Ten człon z prawej stony kreski to jest taka macierz z jedynkami na głównej przekątnej o tym samym stopniu co macierz którą odwracasz po prostu stawiasz pionopwą krechę i dopisujesz taką macierz.
    Stosując operacje na wierszach musisz dojść do tego aby ta macierz którą dołączyłeś znalazła się po drugiej stronie kreski. w ten sposób otrymujesz macierz odwrotną.
    Ale radził bym ci poszukać innego sposobu na odwracanie macierzy jest jeszcze przynajmniej jeden durzo prostrzy sam z niego kiedyś kożystałem tyle że już go nie pamiętam (wygoda->kalkulator ...no rozumiesz :) ) poszukam notatek i postaram się odezwać.

    Dodano po 8 [minuty]:

    ha internet to coś pięknego i nigdy w to nie wątpiłem zerknij tutaj: http://algebra-liniowa.republika.pl/06/wyklad/wyklad3.html
    tam jest przykładzik 6.3.7 to jest prostrzy wg mnie sposób odwracania macierzy bo nie trzeba kombinować z działaniami na wierszach ja po prostu nigdy tego nie potrafiłem sobie wyobrazić. pozdrofka i mam nadzieje że ci to pomoże.

    Dodano po 5 [minuty]:

    tą macierz dołączoną tworzy się w ten sposób że:
    1. wykreślasz pierwszy rząd i pierwszą kolumnę a z tego co ci zostanie liczysz wyznacznik i zapisujesz go w pozycji A11 macierzy.
    2.wykreślasz pierwszy rząd i drugą kolumnę a z tego co ci zostanie liczysz wyznacznik i zapisujesz go w pozycji A12 macierzy.
    ...
    i tak do końca
  • Pomocny post
    #8 1307409
    _jta_
    Specjalista elektronik
    M*C=Z to w rozwinięciu:
    M11*C1+M12*C2+M13*C3+M14*C4=Z1 (1)
    M21*C1+M22*C2+M23*C3+M24*C4=Z2 (2)
    M31*C1+M32*C2+M33*C3+M34*C4=Z3 (3)
    M41*C1+M42*C2+M43*C3+M44*C4=Z4 (4)
    ponieważ Z3=-Z2, Z4=-Z1, to dodając (1) i (4) oraz (2) i (3) dostajemy:
    (M11+M41)*C1+(M12+M42)*C2+(M13+M43)*C3+(M14+M44)*C4=0 (5)
    (M21+M31)*C1+(M22+M32)*C2+(M23+M33)*C3+(M24+M34)*C4=0 (6)
    a ponieważ w tej macierzy M[i,j]=M[5-i,5-j]
    (M11+M41)*C1+(M12+M13)*C2+(M13+M12)*C3+(M41+M11)*C4=0 (5a)
    (M21+M31)*C1+(M22+M23)*C2+(M23+M22)*C3+(M31+M21)*C4=0 (6a)
    czyli po uproszczeniu:
    (M11+M41)*(C1+C4)+(M12+M13)*(C2+C3)=0 (5b)
    (M21+M31)*(C1+C4)+(M22+M23)*(C2+C3)=0 (6b)
    i jeśli tylko wyznacznik (M11+M41)*(M22+M23)-(M12+M13)*(M21+M31)
    nie jest 0, to wynika z tego, że C4=-C1, i C3=-C2 (7)
    (jeśli jest 0, to też te wartości są rozwiązaniami, ale są i inne);
    akurat tutaj: (2+0)*(2+1/3)-(2/3+0)*(2/3+0)=14/3-4/9=38/9 !=0;

    odejmując (1) i (4) oraz (2) i (3) i wstawiając C3, C4 z (7) dostajemy:
    (M11-M41-M14+M44)*C1+(M12-M42-M13+M43)*C2=2*Z1 (8)
    (M21-M31-M24+M34)*C1+(M22-M32-M23+M33)*C2=2*Z2 (9)
    i teraz korzystając z symetrii M[i,j]=M[5-i,5-j]:
    (M11-M14)*C1+(M12-M13)*C2=Z1 (8a)
    (M21-M24)*C1+(M22-M23)*C2=Z2 (9a)
    i taki układ już jest łatwo rozwiązać, po podstawieniu liczb:
    2*C1+(2/3)*C2=-1 (8b)
    (2/3)*C1+(5/3)*C2=-3 (9b)
    skąd (2/3-5)*C2=8, (10-4/3)*C1=1, więc C1=3/26, C2=-24/13.
REKLAMA