Cześć.mam nastepujący problem.W ramach pracy magisterskiej mam zrobić takie cos,ze mam wygenerowac sygnał w funkcji czasu,a następnie przepuscic go przez filtr, na wyjsciu ktorego ma wyjsc sygnal przefiltrowany.W zwiazku z tym zwracam sie z prosba o pomoc jak to zrobic??Dodam ze taka prezentacje mam zrobic w programie MATLAB,a moje filtry to proste,podstawowe układy RC i LC (dolno górno i pasmowoprzepustowe).Bardzo prosze o pomoc !!!!
To masz dwie możliwości; albo na podstawie prototypu analogowego zaprojektować filtr IIR, albo zasymulować działanie układu elektronicznego.
Ta druga opcja jest prostsza w realizacji. Matlaba nie znam, więc tak tylko z grubsza wyjaśnię o co chodzi. Po pierwsze musisz określić, czy wykonujesz obliczenia na prądach, czy na napięciach. Stopień trudności w obu przypadkach jest ten sam. Dla prostych układów można nawet prowadzić mieszaną symulację prądowo-napięciową, będzie nieco prostsza i wydajniejsza obliczeniowo.
Pierwsze, co trzeba zrobić to model układu przygotowany do symulacji.
W wypadku filtru dolnoprzepustowego RC na model będą składały się:
1. napięcie wejściowe U1 na końcóce rezystora, czyli to, co podajesz z generatora.
2. napięcie wyjściowe U2 na drugiej końcówce R (czyli na połączeniu R i C)
3. Prąd płynący przez kondensator. I
Zakłądamy zerową impedancję wyjściową źródła sygnału i nieskończenie wielką impedancję wejściową obciążenia.
Cały układ zatem modelujesz za pomocą 3 zmiennych: U1, U2, I. Dodatkowo drugi taki sam komplet zmiennych potrzebny będzie do prowadzenia symulacji, z tym że nie będzie on zawierał wartości napięć i prądu, ale ich skończone przyrosty. Właściwie to nie wszystkie z nich będą używane, ale w bardziej skomplikowanych układach nie ma sensu tworzyć osobnego wektora (czy tablicy, czy jak kto woli) pochodnych, tylko zwyczanie skopiować wektor modelu. Potrzebne jeszcze będą dwie zmienne t - czas i dt - przyrost czasu (w zasadzie, to dt jest stałą, ale w algorytmach adaptacyjnych może się zmieniać)
Całość sprowadza się do wykonywania w pętli tych samych operacji, przedtem jednak należy zainicjować wszystkie zmienne (najprościej dać same zera) i wybrać przyrost czasu odpowiedni do parametrów przetwarzanego sygnału. W zależności od zastosowanego integratora będzie on wynosił od 1/10 do 1/1000 okresu sygnału.
Teraz trochę teorii:
Model rezystora.
Jak wiadomo z prawa Oma U=R*I (a I=U/R)i więcej wiedzieć nie trzeba.
Model kondensatora.
W zasadzie też dość prosty. Napięcie na kondensatorze jest proporcjonalne do płynącego przezeń prądu, oraz czasu, przez jaki przepływa prąd i odwrotnie proporcjonalne do pojemności.
Jest więc całką przepływającego przez niego prądu po czasie podzieloną przez pojemność.
U=(|Idt)/C ( | - zastępczy symbol całki, nie chciało mi się w TeXu pisać )
Jeżeli teraz skwantujemy sobie czas, czyli będziemy operować na jego skończonych przyrostach, to zauważymy, że skwantowaniu ulegnie także Napięcie i prąd, a dokładniej; Po upłynięciu każdego "kwantu" czasu dt napięcie na kondensatorze zmieni się o dU=I*dt/C
No i to w zasadzie wszystko, co trzeba wiedzić.
Teraz jak to działa:
0. Inicjujemy wszystkie zmienne jako zero
1. wybieramy jakiś przyrost czasu, powiedzmy dt=0.001 s, co powinno być odpowiednie do symulacji przebiegu o częstotliwości 10Hz
2. dodajemy wszystkie przyrosty (za pierwszym razem zera) do odpowiadających im wartości, podajemy sygnał wejściowy, odczytujemy sygnał wyjściowy i zwiększamy czas:
U1=sygnał_we(t)
U2=U2+dU
I=I
sygnał_wy=U2
t=t+dt
3. obliczamy pochodne (a właściwie to skończone przyrosty), w naszym przypadku będzie to tylko dU
dU=((U1-U2)/R)*dt/C
4. spowrotem do punktu 2 i tak w nieskończoność
W punkcie 3 już trochę to uprościłem, ale można by to było zrobić tak:
dU=I*dt/C
A w punkcie 2 dodatkowo liczyć prąd płynący przez rezystor: I=(U1-U2)/R. Miałbyś wtedy informację zarówno o napięciu na kondensatorze, jak i o płynącym przez niego prądzie (nie wiem, do czego, ale może się przydać)
dobrze jest funkcję liczącą przyrosty wykonać tak, aby nie uwzględniała dt (czyli np. dU=I/C), a samo mnożenie przez dt wykonać dopiero w trakcie dodawania przyrostów (U=U+dU*dt). Niby to samo, ale jednak nie to samo . To co opisałem powyżej, to integrator Eulera, słynie z tego, że jest niestabilny, niedokładny i potrzebuje bardzo małego przyrostu czasu do poprawnej pracy.
W tak prostum układzie z integratorem Eulera, jeżeli nie dobierzemy dostatecznie małego przyrostu czasu, wartości napięcia wyjściowego mogą na przykład przekroczyć wartość napięcia wejściowego. Tu akurat mamy do czynienia z pobudzeniem ciągłym, więc na szczęści nie doświadczymy zjawiska wytracania energii z powodu skończonej precyzji obliczeń.
A teraz, po co było dt wyciągnięte z pochodnej? Otóż istnieją jeszcze inne integratory, niż Eulera, chyba najbardziej popularny jest integrator Runge-Kutta x, za x jakiś numerek, jak będzie 2 to taki integrator nazywa się czasem Midpoint, a najczęściej spotyka się x=4 i x=6. W integratorze RK odcinek czsu dt jest dzielony na mniejsze fragmenty (ilość tych fragmentów to właśnie ten x w nazwie), dla tych krótszych odcinków czasu obliczane są przyrosty, które potem dodawane są do wartości z odpowiednimi wagami. Jak chcesz coś więcej wiedzieć, to kierunek google, bo widzę, że i tak mi już z tego spory esej wyszedł , w sieci jest mnóstwo materiałów o integratorach, wraz z obrazkami itd. i nie przejmuj się, że większość z nich służy do modelowania np. klocka na sprężynie, czy zachowania samochodu wyścigowego na torze, integrator jest zawsze ten sam, inne są tylko zmienne i opisujące układ równania.
A to, co pisałem, że dt powinno być od 1/10 do 1/1000 okresu to jest właśnie różnica pomiędzy Eulerem, a RK6. Euler - 1/1000, RK6 - 1/10 (a nawet 1/5)
Przy okazji samo się zrobiło równanie filtru IIR:
y[t]=((x[t-1]-y[t-1])/R)*dt/C
Jeżeli Cię to interesuje, to mogę wrzucić jakiś program w C, bo niedawno sprawdzałem wyniki zadań z fizyki za pomocą integratora RK4 , więc mam gotowca. Mogę nawet zasymulować jakiś filtr, 5 minut roboty .
Wielkie dzieki dla Ciebie za pomoc.Naprawde jestem ogromnie wdzieczny za zainteresowanie i okazana mi pomoc. Przeczytalem Twoja odpowiedz szczegółowo i moze ide troche na łatwiznę,ale mam do Ciebie jeszcze jedna prosbe.A wiec tak: sygnał na wejściu mojego filtra np.RC ma postać y=sin(2*50*pi*t)+2*sin(2*120*pi*t)-czyli jest to napiecie wejsciowe tak??;wobec tego jaki bedzie sygnal na wyjsciu(chodzi mi o ogolna postac bez wyliczania itd).Bede wdzieczny za odpowiedz,gdyz latwiej mi jeste pewne rzeczy zrozumiec na konkretnym przykladzie a nie na suchej teorii.Jeszcze raz dziekuje za tak obszerne wyjsnienie mi tych kwestii.
P.S. Jesli mozesz napisz mi tez z jakiej literatury moge skorzystac chcąc lepiej poznac te tematy.Dziekuje i pozdrawiam.
sygnał na wejściu mojego filtra np.RC ma postać y=sin(2*50*pi*t)+2*sin(2*120*pi*t)-czyli jest to napiecie wejsciowe tak??;
Tak. W podrzuconym programie wpisujesz poprostu to równanie tam, gdzie jest napisane "generator (...)", czyli: stan.u1 = sin(2*50*PI*t)+2*sin(2*120*PI*t);, a całą konstrukcję if else wywalasz.
tabakapawel wrote:
wobec tego jaki bedzie sygnal na wyjsciu(chodzi mi o ogolna postac bez wyliczania itd).
To już nie jest takie proste, bo można podać rozwiązanie na kilka sposobów.
1. rozwiązanie mało przejrzyste - naleleży podstawić funkcję opisującą napięcie wejściowe do równania opisującego układ. Niestety jest to równanie różnicowe, więc jak już wspomniałem - będzie wyglądało mało zachęcająco.
Równanie różnicowe opisujące ten układ wygląda tak:
Prąd płynący w obwodzie (tu sprawa jest dość prosta, bo prąd płynie tylko jedną drogą - przez szeregowe połączenie R i C):
$$I=frac{U_{we} - U_{wy}}{R}$$ Napięcie na kondensatorze, a zarazem napięcie wyjściowe:
$$U_{wy} = frac{1}{C} int I dt$$ wobec powyższego:
$$frac{dU_{wy}}{dt} = frac{1}{C}I$$
składając to wszystko do kupy mamy:
$$frac{dU_{wy}}{dt} = frac{U_{we} - U_{wy}}{R C}$$
porządkując otrzymujemy:
$$frac{U_{we} - U_{wy}}{R C} - frac{dU_{wy}}{dt} = 0$$ I do takiego czegoś wrzucić należy funkcję opisującą napięcie z generatora.
$$frac{(sin{2 pi *50 t} + 2 sin{2 pi * 120 t}) - U_{wy}}{R C} - frac{dU_{wy}}{dt} = 0$$
Czytelne to to raczej nie jest. Nie wiem w ogóle, czy dobrze to zrobiłem, bo na równaniach różnicowych znam się mało (tylko tyle, że potrafię je jako tako poskładać i rozwiązać za pomocą komputera ). Rozwiązywanie takiego równania będzie uciążliwe (a przynajmniej tak mi się wydaje), ale jego rozwiązanie jest wbrew pozorom dość proste (dla tego konkretnego przypadku).
2. Metoda prostsza, albo trudniejsza, zależy z jakimi sygnałami i elementami mamy do czynienia.
Sygnał należy poddać analizie widmowej, czyli "rozbić" na częstotliwości składowe. Dla dowolnych sygnałów robi się to za pomocą transformaty Fouriera, ale w tym wypadku można prościej. Pan Fourier wymyślił sobie, że każdy dowolny sygnał można zapisać w formie (nie)skończonej (to zależy od charakteru obrabianego sygnału, więcej o tym np. w dspguide z linku poniżej) sumy sinusoid o różnych amplitudach, przesunięciach fazowych i częstotliwościach.
Drugim ułatwieniem (a właściwie to tylko i wyłącznie dla tego) jest fakt, że mamy do czyniena tylko z elementami liniowymi - rezystory, cewki, kondensatory. Nie ma elementów nieliniowych, jak diody, czy tranzystory.
Elementy liniowe to takie, które gdy przepływa przez nie prąd nie wprowadzają do przebiegu żadnych dodatkowych częstotliwości. Kiepsko trochę tą definicję wymyśliłem, może inaczej, jaśniej:
Jeżeli do wejścia dowolnego układu zbudowanego wyłącznie z elementów liniowych doprowadzimy sygnał sinusoidalny o częstotliwości f, to na jego wyjściu otrzymamy również sygnał sinusoidalny o tej samej częstotliwości i żadnej innej, ewentualnie przesunięty w fazie i o zmienionej amplitudzie. Zgodnie z tym i twierdzeniem Fouriera stwierdzić możemy, że doprowadzenie do wejścia ukłądu liniowego sygnału będącego wypadkową jakiegoś zbioru sygnałów o różnych częstotliwościach da nam na wyjściu sygnał składający się z sygnałów o tych samych (i tylko tych) częstotliwościach, co sygnał wejściowey + ewentualne przesunięcia fazowe i zmiana amplitudy.
No starczy, teraz do rzeczy :
Potrzebna będzie charakterystyka fazowo-amplitudowa filtru, to znaczy znajomość zależności amplitudy sygnału wyjściowego (względnej) i jego przesunięcia fazowego względem sygnału wejściowego w zależnoście od częstotliwości sygnału wejściowego.
Z tych wzorów (uporząadkowałem je nieco):
y1 = sin(2*PI*50*t)
y2 = 2*sin(2*PI*120*t)
mamy, że częstotliwość pierwszej sinusoidy wynosi f1=50Hz (pod warunkiem, że czas (t) jest w sekundach), drugiej zaś f2=120Hz.
Z charakterystyki filtru odczytujemy wartość amplitudy i przesunięcia fazowego dla obu częstotliwości. Odpowiednio A(f1) i A(f2), oraz φ(f1) i φ(f2) (φ w radianach)
Sygnał wyjściowy będze wciąż składał się wciąż z sinusoid o tych samych częstotliwościach, ale o zmienionych amplitudach i przesuniętych fazach:
y1 = A(f1) * sin(2*PI*50*t + φ(f1))
y2 = A(f2) * 2*sin(2*PI*120*t + φ(f2))
co po złożeniu spowrotem do jednego równania daje:
y(t)=A(f1) * sin(2*PI*50*t + φ(f1))+A(f2) * 2*sin(2*PI*120*t + φ(f2))
A skąd wziąć charakterystykę filtru?
No i tu znowu jest kilka możliwości.
1. Metoda laboratoryjna - w programie użyć "generatora" o regulowanej częstotliwości i na podstawie otrzymanych danych (tudzież sporządzonych z nich wykresów) określić amplitudę sygnału i przesunięcie fazy dla wybranych częstotliwości.
2. Metoda stricte "komputerowa" - jako sygnał wejściowy podać impuls Diraca, z sygnału wyjściowego policzyć transformatę Fouriera, wyniki przedstawić w postaci biegunowej (moduł i argument), co w praktyce odpowiadać będzie amplitudzie i przesunięciu fazowemu w zależności od częstotliwości. Trzeba będzie tylko skorygować przesunięcie fazowe tak, żeby było zawsze dodatnie i nie zmieniało się w sposób skokowy z 2Π na 0, tylko rosło dalej (jest do tego specjalna funkcja w DSP Extension pack do MathCADa, w Matlabie pewnie też się jakiś odpowiednik znajdzie)
3. Metoda analityczna. Polega na wyznaczeniu charakterystyki układu jako funkcji częstotliwości. W praktyce wykonuje się obliczenia impedancji (na liczbach zespolonych) tak, jak dla zwykłych rezystancji, ale z uwzględnieniem częstotliwości
Dla prostego filtru dolnoprzepustowego RC, będzie to wyglądało tak:
Filtr traktujemy jak dzilnik napięca, dla dzielnika napięca mamy:
U_wy = U_we * R2/(R1+R2) (R1, to "górny" rezystor, R2 dolny, U_wy to napięcie, jakie odłoży się na R2)
Podobnie dla impedancji zapisać możemy:
U_wy = U_we * Z2/(Z1+Z2)
Właściwie, to można to odrazy "przerobić" na wartości względne:
A = Z2/(Z1+Z2)
Z1 będzie rezystancją (rezystor), Z2 - reaktancją (kondensator)
Otrzymamy napięcie wyjściowe w postaci liczby zespolonej A, jej moduł będzie amplitudą, natomiast argument przesunięciem fazowym
I równanie będzie wyglądało tak:
y1 = |A(f1)| * sin(2*PI*50*t + arg(A(f1)))
y2 = |A(f2)| * 2*sin(2*PI*120*t + arg(A(f2)))
P.S. Jesli mozesz napisz mi tez z jakiej literatury moge skorzystac chcąc lepiej poznac te tematy.Dziekuje i pozdrawiam.
W dziale DSP i transmisja jest temat "Materiały do nauki DSP" link: https://www.elektroda.pl/rtvforum/topic137613.html Tam znajdziesz linki do kilku publikacji. Nic więcej oprócz google polecić nie mogę, bo włąśnie tam szukałem większości informacji, trochę(?) to męczące było, ale jakoś zawsze sie udawało, chociaż czasami poszukiwania zajmowały kilka dni
W załączniku program, wyniki z sumulacji; w kolumnach, kolejno: czas [s], napięcie wejściowe [V], napięcie wyjściowe [V] i prąd płynący przez kondensator [A]
I jeszcze wykonany na szybko wykres w eXcwelu.
A i jeszcze z liczeniem przyrostów i dodawaniem ich do wektora stanu jest taki myk, że dla integratora Eulera możesz to robić praktycznie w dowolnej kolejności, będzie to miało niewielki wpływ na wyniki. Integrator Runge-Kutta niejako wymusza konieczność obliczenia przyrostów w pierwszej kolejności. Podobnie inne wartości, które są obliczane w układzie, np. prąd obliczany jest zanim zostaną policzone pochodne, równie dobrze mógłby być obliczony później i nie miało by to znaczącego wpływu na wyniki.
---------
Tak mi się jeszcze przypomniało i znalazło.
Dobra książka to "Sztuka elektroniki" autorzy Horowitz i Hill
Jest tam co nieco o filtrach napisane, i dobrze wytłumaczona teoria.
Znalazło się nawet rozwiązanie rónania różnicowego tego filtru
$$U_{wy}(t) = frac{1}{R C} int_{- infty}^{t}U_{we}( tau )e^{-(t-tau ) / RC} d tau$$ Hardcore
Na początku znów bardzo dziekuje za profesjonalna,rzeczowa i bardzo wyczerpujaca odpowiedz.Wykorzystalem wzory podane mi przez Ciebie i powiem Ci co zauwazylem.A wiec na wykresie pierwszym sygnal zawiera sie w granicach od -3 do 3.Natomiast po przefiltrowaniu ( z zastosowaniem wzorów napisanych przez Ciebie) sygnal zawiera sie w przedziale -1.95 do -1.45.Wydaje mi sie ze to chyba o to chodzilo,ale bede wdzieczny jesli powiesz mi co Ty o tym sadzisz.Ja wiem o tym ze to jest tylko przykladowy sygnal,jednak chcialbym wiedziec czy tak wlasnie wyglada idea filtra dolnoprzepustowego RC?? I mam jeszcze kolejne pytanie.Czy wzory podane przez Ciebie ,a mianowicie :
y1 = A(f1) * sin(2*PI*50*t + φ(f1))
y2 = A(f2) * 2*sin(2*PI*120*t + φ(f2))
co po złożeniu spowrotem do jednego równania daje:
y(t)=A(f1) * sin(2*PI*50*t + φ(f1))+A(f2) * 2*sin(2*PI*120*t + φ(f2))
mozna rowniez zastosowac dla filtra górnoprzepustowego RC,pasmowoprzepustowego RC????
Aha i jeszcze jedno.Jak sie przedstawia sytuacja w przypadku filtrów LC (dolno-, górno- i pasmowoprzepustowych)????
Jeżeli częstotliwość sygnału będzie znajdowała się poza pasmem przepustowym filtru (czyli tam, gdzie zachodzi tłumienie), to amplituda musi być mniejsza, więc w porządku.
Ale sygnał jest symetryczny względem zera (zmienia się 0d -3V do +3V), więc i sygnał wyjściowy powinien być symetryczne, czyli jego amplituda powinna zmieniać się od powidzmy jakiegoś -x do +x woltów. Zresztą ze wzoru wynika, że poziom sygnału nie może się przesynąć, bo dalej jest tylko sin(), ale pomnożony przez jakąś wartość.
Ideą filtru jest to, co pisałem - dzielnik napięcia, ale wykonany na impedancjach, a nie rezystancjacjach - podział napięcia zmienia się zależnie od częstotliwości, bo zależą od niej impedancje zastorowanych elementów (cewka, kondensator).
Wzory są dobrze złożone. Te same wzory można wykorzystać do dosłownie każdego filtru, pod warunkiem, że znana jest jego charakterystyka amplitudowa i fazowa.
Z filtrami LC jest to samo - też liczy się je jako impedancje.
W filtrze LC pasmowoprzepustowym i pasmowo zaporowym (czyli w obwodach rezonansowych) dla pewnych częstotliwości impedancje (a konkretniej to tylko reaktancje) użytych elementów wzajemnie się znoszą, te częstotliwości, to właśnie częstotliwości rezonansowe.
W zależności od konfiguracji filtru LC będzie on reprezentował sobą "zwarcie" (filtr szeregowy), lub "przerwę" (filtr równoległy) w obwodzie dla sygnału zmiennego o częstotliwości równej częstotliwości rezonansowej filtru.
Do symulacji filtrów z indukcyjnościami trzeba też zastosować inny model:
I=(|Udt)/ L
I - prąd płynący przez cewkę
| - całka
U - napięcie na końcówkach cewki
L - indukcyjność
Albo inaczej:
U = L*(dI/dt)
Chyba tak, jakoś nie mam siły myśleć, bo zostałem zawirusowany. W jakiejś książce powinno być
Poza tym można w analizie zmiennoprądowej modelować wszystkie elementy jak impedancje (a obliczenia prowadzić jak dla układu połączonych rezystorów, z tym że na liczbach zespolonyc)
Na wejście podaje się stałe "napięcie" i zmienia częstotliwość (ale nie napięcia tylko parametr w impedancjach) Zespolone "napięcie" wyjściowe jest dla zmieniającej się częstotliwości będzie gotową charakterystyka amplitudowo fazową filtru.
A i jeszcze gdzieś krzaka wcześniej walnąłem - przesunięcie fazowe filtru jest zawsze ujemne.
Dziekuje po raz kolejny za cenne dla mnie informacje!!!!Nie wiem dlaczego ale teraz jak poprawilem przesuniecie fazowe na znak "-" to i tak przedzial zmiennosci wystepuje od 1,4 do 1,9.Jednakze bylbym niezmiernie zobowiazany jesli podpowiedzialbys mi w jakich ksiazkach badz tej moze gdzies w internecie moge znalezc wiadomosci teoretyczne na temat filtrów RC,LC (chodzi mi o te podstawowe układy pasywne-bez wzmacniaczy) czy tez o tym jak sie to filtruje.Jestem pelen podziwu dla Twoich wiadomosci na ten temat,jednakze chcialbym o tym poczytac troszke wiecej, by móc to potem opisac w swojej pracy.Pozdrawiam bardzo serdecznie.
P.S.Acha i zycze jeszcze szybkiego powrotu do zdrowia!!!!!!!!!!!!
To jest wręcz niemożliwe, żeby ten przedział nie mieścił się w jakimś "symetrycznym" (względem zera) zakresie.
Przykład dla filtru RC dolnoprzepustowego.
R = 10kΩ C = 1µF
Z powszechnie znanego wzoru na częstotliwość charakterystyczna filtru RC:
$$f_{C} = \frac{1}{2 \pi R C}$$ mamy fC=15.9Hz
Ale to i tak jest niepotrzebne, ważne tylko, że fC jest poniżej częstotliwości Twojego sygnału, żeby tłumienie wyszło jakieś sensowne
Filtr wygląda tak:
Jeżeli teraz rezystancję i pojemność zastąpić impedancjami, to będzie on wyglądał tak:
Do złudzenia przypomina zwykły dzielnik rezystorowy, i tak też jest w rzeczywistości, ale zamiast rezystancji mamy impedancję. Dla dzielnika rezystorowego napięcie na wyjściu dane jest wzorem:
$$U_2 = U_1 \frac{R_2}{R_1+R_2}$$ Dla dzielnika impedancyjnego jest dokładnie tak samo, ale tym razem wszystko należy traktować jako liczby zespolone (impedancje)
$$U_2 = U_1 \frac{Z_2}{Z_1+Z_2}$$ Nas właściwie nie interesuje jaką wartość będzie miało napięcie wyjściowe, a jedynie stosunek U2/U1, czyli transmitancja.
$$K = \frac{Z_2}{Z_1+Z_2}$$ Teraz potrzebujemy znać impedancje elementów wchodzących w skład filtru.
Impedancja rezystora ma tylko składową rzeczywistą (rezystancję), wobec czego jest niezależna od częstotliwości.
Z1 = R + 0j
Impedancja kondensatora natomiast posiada wyłącznie składową urojoną (reaktancję). W impedancji składowa urojona jest zawsze zależna od częstotliwości
Z2 = 0 - j/(ω C)
ω - pulsacja, czyli 2 * Π * f, a f - częstotliwość, ale wygodniej jest operować pulsacją, mniej do pisania (i nie tylko)
W powyższyc wzorahc zostawiłem zera zamiast składowych, które nie występują, żeby było ładnie widać, ze to liczby zespolone j = √-1, to samo, co i w matemetyce, ale w elektronice i fizyce stosuje się j, żeby nie pomylić tego z prądem małosygnałowym (który oznacza się właśnie "i").
No i mamy już pierwszą różnicę między dzielnikiem rezystancyjnym a impedancyjnym - transmitancja dzielnika impedancyjnego jest zależna od częstotliwości.
No to złożymy teraz do kupy obie impedancje, żeby otrzymać równanie transmitancji dzielnika (filtru).
$$K( \omega ) = \frac{0 + \frac{-j} { \omega C }} {(R + 0j) + (0 + \frac{-j} { \omega C })}$$ Po wywaleniu tych niepotrzebnych zer i zsumowaniu impedancji w mianowniku mamy:
$$K( \omega ) = \frac{\frac{-j} { \omega C }} {R + \frac{-j} { \omega C }}$$ co po dalszym uproszczeniu daje:
$$K( \omega ) = \frac{-j} {R \omega C - j}$$ Teraz mamy już to w postaci łatwej do podzielenia, i w wyniku otrzymujemy:
$$K( \omega ) = \frac{R \omega C + 1} {(R \omega C )^2 + 1} + \frac{- R \omega C + 1} {(R \omega C )^2 + 1}$$ No i możemy już podstawiać. R i C mamy, za ω podstawiamy 2 * Π * f Mamy zależność transmitancji od częstotliwości.
Wykresy przedstawiające charakterystykę filtru:
U góry moduł (oś Y w skali logarytmicznej).
Na dole wartość argumentu, czyli przesunięcie fazowe (w radianach).
Sygnał z generatora mamy rozbity na dwie składowe o częstotliwościach f1 = 50Hz i f2 = 120 Hz, wobec tego ω1 = 100Π ω2 = 240Π
Jak już pisałem w jednym z poprzednich postów - przesunięcie fazowe musi zostać skorygowane, tak, żeby uzyskać ciągłą funkcję φ(ω). W praktyce sprowadza się to do odejmowania, lub dodawania 2Π do wartości funkcji zaczynając od każdej ω, w której występuje nieciągłość.
W wypadku prostego jednobiegunowego filtru RC taka korekcja nie jest akurat konieczna, gdyż przesunięcie fazy nigdy nie przekroczy -Π/2 radianów
A więc wstawiając otrzymane wartości do równań otrzymujemy:
y1 = 0.303 * sin(2*PI*50*t - 1.263)
y2 = 0.131 * 2 * sin(2*PI*120*t - 1.439)
Wobec tego równanie opisujące przefiltrowany sygnał ma postać:
y(t) = 0.303 * sin(2*PI*50*t - 1.263) + 0.262 * sin(2*PI*120*t - 1.439)
Wartość funkcji sinus zmiania się w zakresie od -1 do 1, więc po pomnożeniu przez 0.303 będzie zmieniać się w zakresie od -0.303 do 0.303. Druga składowa będzie się więc zmieniała w zakresie od -0.262 do 0.262
Wobec tego suma obu składowych będzie się zawierała w przedziale od -(0.303+0.262) do +(0.303+0.262) Przedział ten może być węższy, jeżeli wystąpią pewne ("niesprzyjające" ) warunki fazowe, ale zawsze dolna i górna granica pozostaną sobie równe co do modułu (czyli ich wartości bezwzględne będą takie same), wobec czego taki sygnał zawsze będzie zmieniał się od jakieoś -a do +a.
I wykres:
Na czerwono sygnał wejściowy, na niebiesko sygnał przefiltrowany.
Oś X - czas w sekundach.
Nie napisałeś, którą metodą filtrowałeś sygnał. Jeżeli wykonałeś analizę zmiennoprądową (czyli to, co powyżej), to może być może w którymś miejscu zamiast na przykład mnożenia wykonałeś dodawanie.
Jeżeli natomiast prowadziłeś symulację za pomocą integratora, to przyczyn może być kilka. Przede wszystkim należy dobrać odpowiedni przyrost czasu. Dla integratora RK4 absolutnie bezpieczną wartością przy takim prostym obwodzie będzie 1/100 okresu składowej o najwyższej częstotliwości, czyli dt := 1/100 * 1/(120Hz) = 8.33e-5 sekundy. Nawet 1/10 okresu powinna wystarczyć.
Napisz dokładnie co zrobiłeś (w szczególności wartości elementów filtru), to się zobaczy, gdzie tkwi błąd.
We wspomnianej przeze mnie wcześniej książce "Sztuka elektroniki" (tom I) są 22 strony traktujące o kondensatorach i cewkach w obwodach prądu zmiennego, oraz zmiennoprądowej analizie układów RLC wraz z teorią i przykładami. Każda szanująca się uczelnia, która kształci na kierunku elektronicznym powinna mieć w bibliotece tą książkę , a jak nie mają to na priv do mnie zagadaj, to się coś poradzi .
Witam. Na początku mam pytanie w jaki sposób otrzymałeś ostateczny wynik K(w).Liczyłem to kilka razy i mnie wyszło
K(w)=1/((RwC)^2)+1)-j((RwC)/((RwC)^2+1))
Nie wiem moze to ja sie gdzies walnąłem i dlatego pytam.
Zrobilem to jeszcze raz i faktycznie sygnał po filtracji tez jest symetryczny względem 0 (zawiera sie w przedziale od -2 do 2) więc myśle ze tak moze zostac Jednakze znowu pojawił sie problem gdy chcialem to zastosowac do filtra górnoprzepustowego (oczywiscie do niego wykorzystalem odpowiednie wzory na amplitude i faze).Nie wiem jaki sygnal ma byc po przefiltrowaniu przez ten filtr.Podobnie w przypadku filtra pasmowoprzepustowego.Mowie tu oczywiscie o filtrach RC.
No i kolejny nurtujący mnie problem dotyczy filtrów LC.Z literatury dowiedzialem sie ze tam wystepuja charakterystyki tłumienia i fazowe.A więc jak wykorzystac charakterystyke tłumienia do pokazania filtracji przez filtry dolno- górno- i pasmowoprzepustowe.Czy bedzie to wyglądało podobnie jak przy filtrach RC(zamiana charakterystyki amplitudowej na tłumienia??).
Bede wdzieczny za odpowiedz.Jestem i tak bardzo wdzieczny za zainteresowanie moim problemem i tak wyczerpujące odpowiedzi.Pozdrawiam
Witam. Na początku mam pytanie w jaki sposób otrzymałeś ostateczny wynik K(w).Liczyłem to kilka razy i mnie wyszło
K(w)=1/((RwC)^2)+1)-j((RwC)/((RwC)^2+1))
Nie wiem moze to ja się gdzies walnąłem i dlatego pytam.
Przepraszam za pomyłkę.
Masz rację, źle podzieliłem, policzyłem jeszcze raz i wyczło mi to samo, co Tobie Errare humanum est Same wyniki są w porządku, bo tylko wzory ręcznie wyprowadzałem, a resztę liczyłem w MathCADzie.
tabakapawel wrote:
Nie wiem jaki sygnal ma byc po przefiltrowaniu przez ten filtr.Podobnie w przypadku filtra pasmowoprzepustowego.Mowie tu oczywiscie o filtrach RC.
Dla każdego filtru po rozbiciu sygnału na składowe sinusoidalne można zapisać go w postaci:
$$S=\sum_{i=1}^{N} (A(f_i) \sin (\omega _i t + \varphi (f_i) )$$
Więc wszystko będzie wyglądało, jak w poprzednim przypadku. Zamień miejscami impedancje Z1 i Z2 w powyższych wzorach i już masz je dla filtru górnoprzepustowego .
tabakapawel wrote:
(...) filtrów LC.Z literatury dowiedzialem się ze tam wystepuja charakterystyki tłumienia i fazowe.A więc jak wykorzystac charakterystyke tłumienia do pokazania filtracji przez filtry dolno- górno- i pasmowoprzepustowe.Czy bedzie to wyglądało podobnie jak przy filtrach RC(zamiana charakterystyki amplitudowej na tłumienia??).
Charakterystyka tłumienia to poprostu "odwrócona" zależność transmitancji od częstotliwości.
Jeżeli przykładowo masz dla jakiejś częstotliwości transmitancję K(w)=0.25. To dla tej samej częstotliwości tłumienie wyniesie 1/0.25 = 4
Często (a właściwie to prawie zawsze) używa się skali logarytmicznej do zobrazowania charakterystyki filtru. Charakterystykę tłumienia filtru pokazuje się chyba dość rzadko (może raz się z tym spotkałem), a przyczyna jest bardzo prosta:
Jeżeli przedstawisz na wykresie moduł transmitancji (czyli charakterystykę amplitudową) w skali logarytmicznej, to żeby otrzymać tłumienie wystarczy zmienić tylko znak wartości odczytanej z osi Y. Na przykład, jeżeli dla jakiejś częstotliwości filtr ma transmitancję -16dB, to tłumienie dla tej częstotliwości jest 16dB.
Charakterystyki tych filtrów wyznaczysz tak samo, jak filtrów RC powyżej - za Z1 daj indukcyjność, za Z2 pojemność i masz filtr dolnoprzepustowy.
Żeby wykorzystać charakterystykę filtru do pokazania filtracji, wystarczy kilka prostych zabiegów:
1. Sygnał rozbić na na składowe sinusoidalne
2. Wszystkie składowe nanieść na wykresy charakterystyk (w postaci prążków o odpowiedniczh częstotliwościach)
3. dla każdego prążka (każdej częśtotliwości) odczytać z wykresu transmitancję filtru i przez odczytaną transmitancję pomnożyć amplidudę danej składowej (to będzie to A(fi) we wszystkich wzorach powyżej)
4. Z przesunięciem fazowym jest tak samo, tylko że zamiast mnożyć trzeba będzie dodawać jakiś kąt φ(fi) do ωt
Witam po krótkiej przerwie.Kurcze im wiecej mysle o tym filtrowaniu tym wiecej mnie nachodzi watpliwosci.:-)Po pierwsze:nie wiem czy dobrze to robie ,ze chcac pokazac dzialanie filtrów przedstawiam to na charakterystyce sygnalu wzgledem czasu ??Zrobilem to z filtrem dolnoprzepustowym i wyszlo mi tak jak u Ciebie na wykresie( tzn. zmniejszyla sie rozpietosc tego wykresu).Ale po probie zrobienia podobnej rzeczy z filtrem gornoprzepustowym wykresy wydaja mi sie podobne.I jak na takim wykresie wyjasnic dzialanie filtrow??Wszedzie w literaturze pisze ze filtr dolnoprzepustowy przepuszcza dolne czestotliwosci a górny górne.W takim razie jak wytlumaczyc to na wykresie jak powyzej.Pomóż prosze jesli mozesz bo mnie nachodza juz czarne mysli czy dam rade to zrobic.Pozdrawiam.
W pewien sposób można to na pewno pokazać na wykresie U(t), ale raczej ciężko, bo tego za bardzo nie widać. Właściwie to jest widoczne, ale dla kogoś, kto wie, jak wyglądają różne sygnały po przefiltrowaniu. Znacznie lepiej będzie to widoczne na wykresie zależności amplitudy od częstotliwości.
Na wykresie U(t) dla filtru dolnoprzepustowego widać wyraźnie, że strome zbocza sygnału prostokątnego uległy wygładzeniu, teraz sygnał nie narasta już z tak dużą szybkością, co świadczy o mniejszym udziale składowych o wysokich częstotliwościach w sygnale.
Dla filtru górnoprzepustowego po ostrym zboczu będzie jeszcze pik i wartość napięcia zaczyna spadać (a w tym samym miejscu nieprzefiltrowany sygnał ma stałą wartość)
Dla filtru pasmowoprzepustowego, będzie już wyglądało troche dziwnie - będzie nico wygładzony pik, a właściwie to górka i do tego opóźniona.
No moje wykresy z grubsza zgadzaja sie z tym co mi napisałeś.A do czego służy częstotliwość graniczna-wiem ze np. dla filtra dolnoprzepustowego mowi ona o tym ponizej jakiej czestotliwosci filtr przepuszcza sygnal-tak?? Jak to zastosować do mojego zadanka.Zauwazylem ze wraz ze zmiana wartosci elementow sygnał przefiltrowany zmienia sie-jak to wykorzystac??Przepraszam ze mecze Cie takimi bzdurami,ale jak juz wspomnialem im bardziej zagłębiam sie w temat tym wiecej rzeczy mnie nurtuje.Pozdrawiam.
Częstotliwość graniczna, to taka, powyżej której filtr dolnoprzepustowy (albo poniżej filtr górnoprzepustowy) tłumi sygnał bardziej niż o 3dB
Właściwie, to bardziej sensowne jest określenie "częstotliwość charakterystyczna", bo można je stosować dla każdego rodzaju filtrów, dla filtrów dolno i górno przepustowych to to samo, co częstotliwość graniczna, a dla pozostałych - częstotliwość środkowa.
A jak to zastosować?? Nie wiem. dziwne dość pytanie, jedyne, co mi do głowy przychodzi, to że możesz powiedzieć, że w zależności od częśtotliwości charakterystycznej filtru niektóre (wszystkie, żadna, to zależy) składowe sygnału będą bardziej, lub mniej stłumione.
A zmiany sygnalu wraz ze zmianą wartości elementów - patrz powyżej, zmienia się przecież częstotliwość charakterystyczna filtru.
Dziekuje za dotychczasowa pomoc.Bylem dzisiaj u promotora i jest narazie ok.Ale dal mi dalsze polecenia,a mianowicie mam narysowac charakterystyki amplitudowe i fazowe filtrow RC i LC typu Pi oraz T.Jesli mozesz to npaisz mi jakis wzor ogolny na te typy filtrow a ja sobie potem policze amplitude i faze.Dziekuje bardzo.Pozdrawiam.
oj PI i T, to już będzie większy problem.
Szczególnie T. pojedyncze ogniwa filtrów typu T stosuje się dość rzadko, bo właściwie to jest to samo, co zwykły filtr górno/dolnoprzepustowy RC/LC/RL, jak kto woli, tylko, że jego wyjście jest włączone szeregowo przez rezystor/kondensator/cewkę (zależy od konfiguracji). Charakterystyka takiego filtru jest zależna od obciążenia (zresztą dotyczy to wszystkich filtrów). Z tym, że dla filtru typu T wygląda to tak, że nieobciążony filtr zachowuje się jak filtr pierwszego rzędu, a po obciążeniem nachylenie jego charakterystyki rośnie, aż do wartości takiej, jak dla filtrów rzędu drugiego. Nachylenie charakterystyki ma tym większą wartość, im mniejsza jest impedancja obciążenia. Ale znowu jest problem, bo dotyczy to tylko przypadku, gdy obciążenie ma taki sam charakter, jak impedancja "nóżki" w T, czyli dla filtru górnoprzepustowego RC będzie to rezystancja, dla filreu dolnoprzepustowego RC - reaktancja pojemnościowa (czyli ujemna).
Zazwyczaj filtry typu T łączy się w pary filtr dolnoprzepustowy/górnoprzepustowy z wyjściami i wejściami połączonymi równolegle. Tworzy się wtedy filtr pasmowozaporowy. a jakby tego było mało, to charakterystyka amplitudowa tego filtru wynika poniekąd z jego charakterystyki fazowej.
Filtr taki nazywa się też czasem "pułapką", bo potrafi mieć bardzo duże tłumienie dla częstotliwości charakterystycznej. Wszystko to przez to, że przesunięcia fazowe sygnałów otrzymanych w obu pojedynczych ogniw T różnią się o 180 stopni (dla częstotliwości charakterystycznej), następuje wzajemne zniesienie tych sygnałów. Taką konfigurację nazywa się filtrem typu "podwójne T"
Przykład:
Obliczenia dla filtrów podwójne T, są trochę (ale tylko trochę) bardziej skomplikowane, generalnie liczy się tak samo, jak poprzednio, czyli cały filtr zastąpić układem impedancji i liczyć, jak dla rezystorów
Filtry typu PI liczy się prawie tak samo, jak proste filtry dolno/górno przepustowe, ale mają jeszcze (podobnie jak pojedyncze ogniwa typu T) dwa bardzo ważne parametry - impedancję wejściową i impedancję wyjściową. Właściwie to te impedancje ma każdy typ filtru, ale ze względu na obszar zastosowania filtrów typu T i PI są one niezmiernie ważne
Transmitancja filtru PI: (kolejne impedancje od lewej do prawej na schemacie, którego nie chciało mi się narysować)
K(w) = Z3/(Z2+Z3)
Zauważ, że transmitancja tego filtru nie jest zależna od impedancji Z1 (równolegle do wejścia kondensator w filtrze dolnoprzepustowym LC, albo cewka w górnoprzepustowym)
Impedancja wejściowa takiego filtru:
Za Z zależności impedancji odpowiednich elementów filtru w zależności od częstotliwości.
|| to operator oznaczający połączenie równoległe, czyli Z1 || Z2 = (Z1 * Z2) / (Z1 + Z2)
zauważ, że impedancja wejściowa filtru zależna jest od impedancji obciążenia (Zobc), natomiast impedancja wyjściowa zależna jest od impedancji żródła sygnału (Zsrc)
Filtry typu PI i T stosuje się często w technice w.cz.
pojedyncze ogniwa typu T spełniają zarówno rolę filtrów, jak i obwodów dopasowania impedancji np. pomiędzy kolejnymi stopniami wzmacniacza.
Podobnie filtry PI, chociaż te pracują zazwyczaj jako zwykłe filtry, czyli Zin = Zout
A dopasowanie impedancji jest po to, żeby przekazać jak największą ilość energii z jednego stopnia do drugiego. Nastąpi to w wypadku, gdy impedancja źródła sygnału i obciążenia są sobie równe. Wykonuje się wtedy filtr, którego impedancja wejściowa jest równa impedancji źródła sygnału, a impedancja wyjściowa jest równa impedancji obciążenia.
Jeszcze wracając do tej niezależności transmitancji od impedancji Z1.
Transmitancja samego filtru nie jest zależna od Z1, natomiast po podłączeniu filtru do żródła sygnału o impedancji Zsrc może utworzy się nowy filtr z impedancji Zsrc i Z1, w związku z tym impedancję Z1 (podobnie zresztą, jak wszystkie elementy filtru) trzeba dobrać do konkretnej impedancji żródła sygnału. Dobrać je należy też oczywiście dla konkretnej impedancji obciążenia i tylko w takich warunkach filtr będzie pracował zgodnie z założeniami.
Hmm z uwaga przeczytalem Twoja ostatnia odpowiedz.A czy mozliwa jest sytuacja,zeby policzyc transmitancje filtrow Pi i T bez brania pod uwage obciazenia i źródła sygnału.Chodzi mi o cos podobnego co robilem poprzednio,a mianowicie: zrobilem programik w Matlabie,który dla danego filtru RC badz LC rysuje jego charakterystyke amplitudowa i fazowa (w zaleznosci od wartosci elementow).I cos podobnego chcialbym zrobic teraz.Po prostu do mojego programu chcialbym dorzucic opcje wyboru typu filtra (Pi lub T) RC lub LC i dla niego narysowac charakterystyke amplitudowa i fazowa. Czyli wzorujac sie na poprzednich postach musze policzyc transmitancje dla danego filtru,po czym bede mial amplitude i faze??? Słyszalem tez ze te charakterystyki niewiele sie beda róznic od siebie,jednakze chcialbym to zrobic( jesli sie da oczywiscie).Bardzo prosze o pomoc i pozdrawiam serdecznie. !!!
Jeżeli nie bierzez pod uwagę obciążenia i impedancji wyjściowej źródła sygnału, czyli tak, jak było we wszystkich potrzebnych przypadkach, to:
dla filtru PI transmitancja jest w poprzednim poście.
dla filtru T pomijasz element połączony z wyjściem filtru (w szereg)
czyli na poniższym rysunku C2 i liczysz dalej jak dla prostego filtru RC/LC, czy cokolwiek
Ale milczące zakłądanie nieskończenie dużej impedancji obciążenia nie jest do końca dobrym pomysłem, bo nie wszystkie czasem ważne cechy filtru są wtedy "widoczne"
Witam.Po Twoim ostatnim poście stwierdziłem ze nie bede kombinowal z tymi filtrami Pi i T.Zamiast tego zrobie mostek Wiena-Robinsona oraz filtr typu podwójne T.Jeśli mozesz to doradz mi jakie jeszcze układy pasywne moge wziac pod uwage.Jeszcze raz dziekuje za Twoje zainteresowanie moimi problemami.Pozdrawiam.Czesc.
MOże coś o obwodach dopasowania impedancj?
W zasadzie to są normalne filtry, ale obliczone tak, aby przy danej częstotliwości przekazać maksimum mocy ze źródła o impedancji Z1 do odbiornika o impedancj Z2.
Można na przykład pokazać, jak zmienia się ilość przekazywanej mocy w zależności od zmian impedancji żródła/odbiornika, lub częstotliwości.
Pojęcie mocy czynnej, biernej i całkowitej (czy jak tam się ona zwie )
)
