Elektroda.pl
Elektroda.pl
X
Proszę, dodaj wyjątek www.elektroda.pl do Adblock.
Dzięki temu, że oglądasz reklamy, wspierasz portal i użytkowników.

Wartość średnia i skuteczna przebiegu

z44exp 17 Sty 2015 19:56 1416 14
  • #1 17 Sty 2015 19:56
    z44exp
    Poziom 5  

    Cześć.

    Mam takie zadanie:

    Obwód zasilany jest z generatora o okresie $$T = 0.05s$$ i kształcie przedstawionym na rysunku. Obliczyć wartość średnią oraz skuteczną.

    Wartość średnia i skuteczna przebiegu

    No i nie do końca jestem pewien jak powinno to wyglądać, czy powinieniem to liczyć tak?

    $$U = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u(t) dt$$

    Czyli u mnie coś takiego?

    $$ U = \frac{1}{T} \int_{0}^{T/4} \sin(x) dx + \int_{3T/8}^{5T/8} -24x dx + \int_{3T/4}^{T}sin(x) dx$$

    I teraz pytanie czy w tym wzorze wszedzie w miejsce $$T$$ mam podstawić wartość $$0.05$$ ?
    Wtedy coś dziwnie by to wyglądało.

    Proszę o pomoc.

    0 14
  • Pomocny post
    #2 17 Sty 2015 20:23
    Krzysio74
    Poziom 16  

    Tak, za T należy podstawić czas 0,05.

    Jednak wzór, który utworzyłeś ma wiele błędów. Spróbuj najpierw opisać zwykłą funkcją, taką z podziałem na zakresy to co jest na wykresie. Później będzie łatwiej to objąć całką.

    Ogólnie teraz w całkach z sinusem brakuje Ci amplitudy tego sinusa ( na wykresie nie ma on wartości 1), a wartość x należy przesunąć tak, aby początek okresu całkowania oznaczał sinusa dla kąta 0. Środkowa część przebiegu też ma błąd.

    0
  • #3 17 Sty 2015 20:33
    z44exp
    Poziom 5  

    Dzięki, właśnie widzę, że coś namieszałem i to sporo.

    Wg mnie ta funkcja wygląda tak(co jest nie tak ze środkową?):

    $$u(t) = \left\{ \begin{array}{ll}
    24sin(t) & \textrm{dla t\in(0;\frac{T}{4}}) \cup (\frac{3T}{4};T)\\
    -24t & \textrm{dla t\in(\frac{3T}{8};{\frac{5T}{8}})\\
    \end{array} \right.$$

    I oczywiście w tym równaniu na $$U$$ co wcześniej zapisałem $$\frac{1}{T}$$ powinno znajdować się przed nawiasem, którego nie dopisałem.

    Jak powinno wyglądać to przesunięcie sinusa? Bo nie rozumiem :/

    0
  • Pomocny post
    #4 17 Sty 2015 20:53
    Krzysio74
    Poziom 16  

    Najłatwiej to podstawić sobie parę szczególnych wartości z danego zakresu, aby zobaczyć, czy jest OK czy nie. Czyli dla sinusa tam gdzie ma wartość 0 i 1 lub -1.

    Czy środkowy przedział jest zmienny w czasie? W Twoim wzorze jest, a na wykresie ma wartość stałą.

    Z przesunięciem sinusa, to nie za bardzo wiem jak to opisać. Ogólny wzór na przebieg to sin(ωt+φ).
    Chodzi o to, że sinus zaczyna się od zera, ma swój okres i przesunięcie. Ty musisz to zawrzeć w opisie funkcji ( we wzorze).
    Pierwszy opisuje sinusa czasie od 0 do T/4 i tu jest w miarę dobrze bo sinus zaczyna się w punkcie 0 od wartości 0. Trzeba również uwzględnić fakt, że okres sinusa jest inny niż 1.

    Trzeba do tego dwa osobne zakresy. Możesz ewentualnie jeszcze zauważyć, że funkcja jest symetryczna i policzyć dla połowy zakresu ;)
    Pozwolisz, że nie podam Ci wzoru, tylko Cię "pomęczę". Przyda się na przyszłość.

    Moderowany przez Mirek Z.:

    Nieprawda -> "Możesz ewentualnie jeszcze zauważyć, że funkcja jest symetryczna i policzyć dla połowy zakresu i pomnożyć przez 2". To jest funkcja ODWROTNIE SYMETRYCZNA, a to nie to samo co funkcja symetryczna (w obliczeniach wartości średniej oraz skutecznej). Podpowiedź szkodliwa.

    0
  • #5 17 Sty 2015 21:13
    z44exp
    Poziom 5  

    Ok, nie chcę gotowca bo nic mi to nie da jak będę miał do rozwiązania inny przykład :P
    Że jest symetryczny to zauważyłem, a że będzie łatwiej to i tak będę liczył.


    Korzystając z tego:
    $$u(t) = U_m\sin(\omega t+\varphi)$$

    U mnie $$\varphi = 0$$, bo tak jak napisałeś, pierwsza część sinusa zaczyna się w zerze, $$U_m = 24$$ - to normalnie z wykresu odczytuje.
    Teraz $$\omega$$ liczę po prostu ze wzoru $$\omega = 2\pi f$$?

    Wtedy wyglądałoby to tak:
    $$f = \frac{1}{T} = 20Hz$$
    $$u(t) = 24\sin(2*3.1415*20*t) = 24\sin(125.66t)$$

    O ile o to tutaj chodzi :D

    Jak narysowałem to na wolframie to zdaje się, że jest tak jak w moim przykładzie.

    0
  • Pomocny post
    #6 17 Sty 2015 21:32
    Krzysio74
    Poziom 16  

    Prawie prawie, ale okres tego "małego" sinusa nie jest równy okresowi twojego przebiegu. Zauważ, że ten sinus mieści się dwukrotnie na rysunku. Ale sobie poradzisz. Poza tym "ładnie byłoby opisać okres nie liczbą, a częścią Twojego okresu T, i na koniec podstawiać wartość.

    Opisz jeszcze tego drugiego sinusa. Zauważ, że zaczyna się on nie w 0 a w 3T/4 o tyle musisz przesunąć.
    To od razu opisz część środkową :)

    0
  • #7 17 Sty 2015 21:48
    z44exp
    Poziom 5  

    Hmmm... no nie wiem czy sobie poradzę, bo teraz to nie rozumiem.
    W jakim sensie mieści się dwukrotnie na rysunku?

    Z tym zapisaniem za pomocą okresu to chodzi o to, żeby $$\omega$$ zamienić po prostu na $$T$$? Ale też nie wiem w jaki sposób :/

    0
  • #8 17 Sty 2015 22:03
    Krzysio74
    Poziom 16  

    OK, chodzi mi o to, żeby nie pisać u(t) = 24sin(2π20t), ale jako u(t) = 24sin(2π(1/T)t). bo to się później ładnie skróci licząc całkę.

    stwierdziłeś, że okres wynosi 1/T = 20Hz, tyle, że jest to okres całego przebiegu. Okresem dla sinusa jest 1/(T/2) . (sinus na rysunku jest namalowany do T/4, ale to jest jego pół okresu)

    ostatecznie pierwszy przedział u(t) = 24sin(2π(1/(T/2))t)

    0
  • #9 17 Sty 2015 22:19
    z44exp
    Poziom 5  

    Dzięki, dla drugiej części to po prostu $$u(t) = -24$$ ?

    Co do drugiego sinusa to głupio mi to znowu pisać, ale... nie wiem jak ma wyglądać to przesunięcie.
    Zwyczajnie $$u(t) = 24\sin(4\pi\frac{1}{T}\cdot t - \frac{3T}{4})$$?

    0
  • #10 17 Sty 2015 22:39
    Krzysio74
    Poziom 16  

    po prostu -24.
    Co do sinusa możesz to zrobić na dwa sposoby :)
    pierwszy to "namalować" takiego sinusa w pamięci przez cały okres twojego przebiegu. Zobaczysz wtedy, że ten wykres nie pokrywa się z twoim i trzeba go przesunąć o pół okresu sinusa. Lub też uwzględnić przesunięcie w czasie, czyli z t podstawiamy (t-3T/4), otrzymując u(t) = 24sin(4π/T(t-3T/4)).
    Zresztą, wymnażając to co jest w nawiasach otrzymasz to samo co jest z pierwszego sposobu :)

    0
  • Pomocny post
    #11 17 Sty 2015 23:36
    kspro
    Poziom 27  

    Krzysio74 napisał:
    OK, chodzi mi o to, żeby nie pisać u(t) = 24sin(2π20t), ale jako u(t) = 24sin(2π(1/T)t). bo to się później ładnie skróci licząc całkę.
    Tak? W takim razie po co przedtem
    Krzysio74 napisał:
    Tak, za T należy podstawić czas 0,05.
    Takie mącenie na pewno nie pomaga.

    z44exp - nie podstawiaj żadnych wartości liczbowych dopóki nie obliczysz wzoru końcowego. Podstawiając od razu liczby możesz nie zauważyć, że coś się skraca, zeruje, itd. Zresztą okres T musi się ostatecznie skrócić (wyrugować ze wzoru), bo zarówno wartość średnia jak i skuteczna nie zależą od okresu przebiegu. Z tego samego powodu zamiast wstawiać do wzorów 24V wstaw po prostu U (gdyby amplitudy dodatnie i ujemne były różne to wstawiłbyś U1 i U2).

    Z rysunku wynika, że przebieg da się opisać trzema funkcjami:
    U•sin(2πt/(T/2)) dla t = 0 .. T/4
    -U dla t = 3T/8 .. 5T/8
    -U•sin(2πt/(T/2)) dla t = 3T/4 .. T

    Wartość średnia wynosi zatem:
    $$ U_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T/4} U sin(\frac{4\pi}{T}t) dt + \frac{1}{T}\int_{3T/8}^{5T/8} -U dt + \frac{1}{T}\int_{3T/4}^{T} -U sin(\frac{4\pi}{T}t) dt = \frac{U}{T}\int_{0}^{T/4} sin(\frac{4\pi}{T}t) dt - \frac{U}{T}\int_{3T/8}^{5T/8} dt - \frac{U}{T}\int_{3T/4}^{T} sin(\frac{4\pi}{T}t) dt $$

    Całka z sinusa wynosi
    $$ \int sin(\frac{4\pi}{T}t) dt = -\frac{T}{4\pi}cos(\frac{4\pi}{T}t)$$
    a środkowa całka oznaczona
    $$ \int_{3T/8}^{5T/8} dt = \frac{T}{4} $$
    i już widać, że okres T wszędzie się skróci i ostatecznie z całek oznaczonych dostaniemy
    $$ U_0 = \frac{U}{4\pi} [-cos(\pi) +cos(0)] - \frac{U}{4} - \frac{U}{4\pi} [-cos(4\pi)+cos(3\pi)] = \frac{U}{4\pi}[1+1] - \frac{U}{4} - \frac{U}{4\pi}[-1-1] = U(\frac{1}{\pi}-\frac{1}{4})$$
    I dopiero teraz można sobie podstawić U=24V.

    Przy obliczaniu całek dla wartości skutecznej można skorzystać z tożsamości:
    sin²x = (1 - cos2x)/2

    0
  • #12 17 Sty 2015 23:57
    Krzysio74
    Poziom 16  

    kspro napisał:
    Krzysio74 napisał:
    OK, chodzi mi o to, żeby nie pisać u(t) = 24sin(2π20t), ale jako u(t) = 24sin(2π(1/T)t). bo to się później ładnie skróci licząc całkę.
    Tak? W takim razie po co przedtem
    Krzysio74 napisał:
    Tak, za T należy podstawić czas 0,05.
    Takie mącenie na pewno nie pomaga.

    Najpierw odpowiedziałem na pytanie, ale później doszedłem do wniosku, że tam jest więcej rzeczy do powiedzenia, niż tylko to. Pewnie, że lepiej operować na wzorach, a później podstawiać, ale nie wszystko naraz.
    Myślisz, że takie przedstawienie rozwiązania pomoże w zrozumieniu, dlaczego tak się liczy, a nie inaczej?
    OK, niech i tak będzie.

    0
  • #13 19 Sty 2015 01:02
    z44exp
    Poziom 5  

    Ok, dzięki to rozumiem.

    Ale jedno pytanie, kspro napisał, że ostatecznie $$T$$ musi się skrócić.

    Dla takiego, przykładu, $$T=0.05s$$

    Wartość średnia i skuteczna przebiegu

    Ten wykres jest symetryczny(chyba trochę niedokładnie narysowałem), więc mam:

    $$U =2 \cdot ( \frac{1}{T} \int_{0}^{1/4T} 80t dt + \frac{1}{T} \int_{1/4T}^{3/8T} (-160t + 60) dt) $$

    No ale tutaj mi się $$T$$ nie skróci bo z pierwszej całki mam $$\frac{1}{T}\cdot\frac{5T^2}{2}$$, a z drugiej $$\frac{1}{T}\cdot(\frac{-25T^2}{4} + \frac{30T}{4})$$

    0
  • Pomocny post
    #14 19 Sty 2015 01:25
    kspro
    Poziom 27  

    Pewnie, że się skróci, bo wzór na napięcie narastające wcale nie jest u(t)=80•t tylko u(t)=80•t/T, a na napięcie opadające u(t)=-160•t/T+60
    Zawsze się skróci, przecież napisałem, że napięcie średnie czy skuteczne przebiegu okresowego nie jest funkcją tegoż okresu. Jak Ci się nie chce skrócić, to znaczy, że coś schrzaniłeś we wzorze funkcji tak jak teraz lub przy całkowaniu, wtedy trzeba wrócić i szukać tak długo aż się znajdzie.

    DODANE do postu poniżej
    Niczego dodatkowo przez T nie dzielimy, funkcja ma postać u(t)=80•t/T bo oś odciętych wyskalowana jest w jednostkach t/T, czyli czasie unormowanym względem okresu. Dla t/T=1/4 dostajemy U=80•1/4=20, czyli prawidłowo, a w przypadku Twojego wzoru u(t)=80•t dostalibyśmy 20T, czyli nie wiadomo co.

    Tak, gdy chodzi o proste figury geometryczne jakimi są prostokąty czy trójkąty (tak jak w tym przypadku), można sobie po prostu obliczyć ich pola, zsumować i wyjdzie to samo co z całkowania.

    0
  • #15 19 Sty 2015 01:32
    z44exp
    Poziom 5  

    No ok, ale tak w zasadzie to czemu dzielimy wzór jeszcze przez $$T$$?

    I druga sprawa czy w takim przypadku mógłbym po prostu obliczyć $$U$$ w taki sposób:

    $$U = 2\cdot\frac{1}{T}( \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \frac{T}{4} + \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \frac{T}{8})$$ ? Czyli po prostu zsumować pola tych trójkątów ograniczonych wykresem i osią OX ?

    0
  Szukaj w 5mln produktów