Dlaczego płaski przewód ma mniejszą indukcyjność?

Bardzo mi zależy na odpowiedzi, bo ani mój nauczyciel, ani Internet nie znają odpowiedzi na to pytanie.

Mniejszą od czego?

Od zwykłego przewodu( o okrągłym przekroju poprzecznym).

Ale o takim samym przekroju, obwodzie czy czym?

O tym samym przekroju. Wzmiankę o tym, że indukcyjność płaskiego przewodu jest mniejsza znalazłem w tym pdfie https://www.williamssound.com/resources/produ...uides/design_guide_induction_loop_systems.pdf na 16 stronie.

Nauczyciel nie zna, ale Internet zna ...

Cytat: "Indukcyjność przewodu prostego zależy w dużej mierze od obwodu jego przekroju - metr drutu o średnicy pięciu milimetrów ma znacznie mniejszą indukcyjność niż metr drutu o średnicy pięćdziesięciu mikrometrów. Taśma o określonym przekroju poprzecznym ma mniejszą indukcyjność niż drut o takim samym przekroju."

Ciebie interesuje ten drugi przypadek - spłaszczasz przewód, aż przyjmie kształt taśmy, zachowując ten sam przekrój (ten sam opór na jednostkę długości, taka sama obciążalność prądowa).

Przybliżony wzór na indukcyjność przewodu o przekroju okrągłym (promień r) i długości l to:

$$L_o = \frac{ \mu _0 l}{2 \pi} \left( ln \left( \frac{2l}{r} \right) - \frac{3}{4} \right) $$

Przybliżony wzór na indukcyjność przewodu o przekroju prostokątnym (boki a i b) i długości l to:

$$L _p = \frac{ \mu _0 l}{2 \pi} \left( ln \left( \frac{2l}{a+b} \right) + \frac{1}{2} \right) $$

$$\frac{ \mu _0}{2 \pi}$$ to pewna stała, możesz dla pewnej długości l policzyć iloraz dolnego wzoru i górnego. Żeby przekrój był ten sam, dla danego a (szerokość taśmy) i danego r grubość taśmy b wynosi $$\frac{ \pi r^2}{a}$$.

Pobaw się w np. Excelu. Mnie dla 1 metra przewodu, dla 0,892 mm promienia (= przekrój 2,5 mm2) oraz dla 25 mm szerokości taśmy wyszło: grubość taśmy 0,1 mm i stosunek indukcyjności ~0,70. Dla 100 m jest to ~0,82. Gdy taśmę zmienić na 5 cm, będzie to ~0,60 (1 m) i ~0,76 (100 m).

Zysk na indukcyjności nie jest oszałamiająco wielki. Zaletą taśmy jest przede wszystkim jej płaskość - możliwość łatwego naklejenia na podłodze lub ścianie i uniknięcie kłopotliwego kucia.

http://www.thompsonrd.com/induct2.pdf
http://www.red.pe.org.pl/articles/2012/8/73.pdf

$$\frac{ \mu _0}{2 \pi}$$ = 200 nH/m (200 nanohenrów na metr).

Przy wysokich częstotliwościach mniejsza indukcyjność płaskiego przewodu będzie miała duże znaczenie. Swoją drogą

2N3866 napisał:

Indukcyjność przewodu prostego zależy w dużej mierze od obwodu jego przekroju

skąd wynika ta zależność?

Przewód ma indukcyjność z powodu pola magnetycznego wokół tego przewodu, powstającego przy przepływie w nim prądu, a to pole jest tym silniejsze, im krótszą ma drogę naokoło przewodu. Najkrótsza droga wokół przewodu ma taką długość, jak obwód jego przekroju - jego wydłużenie eliminuje część możliwych dróg, i to tych najkrótszych, wyłączając część indukcyjności z nimi związaną.

Dla dróg kołowych na zewnątrz przewodu ich wkład byłby (200nH/m)•l•(ΔR/R), gdzie 'l' to długość odcinka przewodu, R to promień drogi pola magnetycznego, ΔR to grubość warstwy dróg. To oznacza, że wkład warstwy dróg jest wprost proporcjonalny do jej przekroju, a odwrotnie proporcjonalny do długości tych dróg. Z tego powodu najkrótsze drogi są dość istotne.

Ale suma takich wkładów byłaby nieskończona, gdyby brać drogi dla R aż do nieskończoności, jednak jeśli przewód ma ograniczoną długość, albo w ograniczonej odległości znajduje się przewód, którym prąd wraca, to pole magnetyczne na większych odległościach maleje szybciej, niż 1/R, i wkład tak odległych dróg jest skończony i nawet niezbyt duży.

Pewien wkład dają drogi pola magnetycznego wewnątrz przewodu, albo przechodzące przez przewód (np. dla przewodu płaskiego), ale ten wkład szybko się zmniejsza w miarę, jak droga przestaje obejmować cały prąd płynący przewodem - jest proporcjonalny do kwadratu prądu. A dla prądu o dużej częstotliwości prąd płynie po powierzchni przewodu tak, że wewnątrz przewodu pola prawie nie ma.

Jeśli przewód jest okrągły i zaniedbamy pole wewnątrz przewodu, a prąd wraca rurą umieszczoną koncentrycznie wokół przewodu, to łatwo można policzyć indukcyjność takiego przewodu na jednostkę długości - wychodzi (200nH/m)•ln(R/r), gdzie 'R' to promień rury, 'r' - promień przewodu w środku. 'ln' (logarytm naturalny) wychodzi z całkowania 1/R.

Mam wrażenie, że pole wewnątrz okrągłego przewodu powinno dodać do tego swój wkład równy 100nH/m, jeśli gęstość prądu w całym przewodzie jest taka sama (prąd/R jest proporcjonalny do R, całkowanie R po R daje 1/2). Niestety dla innych przekrojów przewodu (w tym dla płaskiego) obliczenie się komplikuje - wynik zależy od tego, ile pola magnetycznego zmieści się w przestrzeni wokół przewodu dla określonej wartości całki H po obwodzie (bo ta jest równa prądowi).

Można by spróbować policzyć indukcyjność "taśmy" z wielu równoległych okrągłych przewodów, która powinna być bliska indukcyjności przewodu płaskiego; dla N przewodów przez każdy ma płynąć prąd I/N, i dlatego każdy przewód daje swój wkład N² razy mniejszy, niż gdyby przez niego płynął cały prąd; oprócz tego każda para przewodów (jest N(N-1)/2 par) daje wkład 2 razy większy, niż dałby przewód okrągły o promieniu równym ich odległości; trzeba by wziąć duże N i to posumować...

Ale to, że taśma ma mieć mniejszą indukcyjność, niż przewód okrągły o takim samym przekroju, można zobaczyć od razu: przewód okrągły też można podzielić na wiele cienkich i policzyć, jak się sumują wkłady od nich, tylko dla przewodu okrągłego ich odległości będą mniejsze, więc wkłady od par wyjdą większe.

@trymer01: Jeżeli chodzi o sens fizyczny, to:

2N3866 napisał:

Indukcyjność przewodu prostego zależy w dużej mierze od obwodu jego przekroju.

nie jest bardzo daleko od:

_jta_ napisał:

pole jest tym silniejsze, im krótszą ma drogę naokoło przewodu.

Drugie odpowiada na pytanie uszczegóławiające to pierwsze. Kłopot w tym, że nie wiadomo, na jakim poziomie wiedzy o fizyce jest nasz kolega przepm i jak to opowiedzieć, żeby było zrozumiałe. Kolega _jta_ się tego podjął - chylę czoła.

Reszta to wzory lub ich opisowe omówienie, które wyprowadza się (a nie dopasowuje do rzeczywistości - więc nie empiryczne) przy różnych założeniach upraszczających, stąd różny poziom dokładności/prostoty wzorów końcowych. Ale zawsze wychodzi się od prawa Ampère'a, które mówi, że całka krzywoliniowa wektora indukcji magnetycznej wytworzonego przez stały prąd elektryczny w przewodniku wzdłuż linii zamkniętej otaczającej prąd jest równa sumie algebraicznej natężeń prądów przepływających (strumieniowi gęstości prądu) przez dowolną powierzchnię objętą przez tę linię. Ponieważ prąd płynie tylko przekrojem przewodu, a nie poza nim, oraz mówimy o samoindukcji (indukcji własnej wewnątrz przewodnika prostoliniowego) to całkowanie odbywa się po obwodzie przekroju. W tych rozważaniach przyjmuje się ponadto, że przewodnik znajduje się poza obszarem oddziaływania innych źródeł pola magnetycznego (brak obcych sił magnetomotorycznych w przewodniku) oraz jednorodny rozkład prądu w przekroju przewodnika.

_jta_ napisał:

A dla prądu o dużej częstotliwości prąd płynie po powierzchni przewodu tak, że wewnątrz przewodu pola prawie nie ma.

Dlatego tzw. efekt naskórkowy wpływa na indukcyjność własną.

@przepm:

_jta_ napisał:

pole jest tym silniejsze, im krótszą ma drogę naokoło przewodu.

Jak wcześniej pisałem, żeby przekrój był ten sam, dla danego a (szerokość taśmy) i danego r grubość taśmy wynosi $$b=\frac{ \pi r^2}{a}$$. Możesz sprawdzić za pomocą Excela bądź udowodnić matematycznie, że obwód koła mającego identyczne pole jak dowolny prostokąt będzie zawsze mniejszy od obwodu tegoż prostokąta. Czyli:
$$2(a+b) - 2 \pi r > 0$$
Podpowiedź: wprowadź parametr $$k = \frac{a}{r}$$.
Dopowiem, że najmniejsza różnica między obwodami będzie dla $$k = \sqrt \pi$$ - czyli po prostu dla przekroju mającego kształt kwadratu (co nie zaskakuje, bo na indukcyjność taśmy nie wpływa to, czy jej przekrój szerokość×grubość "stoi" bądź "leży").