Jakie filtry bardziej szumią - cyfrowe czy analogowe? Część 1

„Daj mi dźwignię wystarczająco długą, a ja poruszę świat” — powiedział Archimedes... Nie miał on naszego nowoczesnego rozumienia materiałów, co sugeruje, że ta przechwałka mogłaby być trudna do spełnienia bez odrobiny magii. Jeśli narysujemy eksperymentalny układ Archimedesa na papierze będzie wyglądać dosyć prosto — skalna kula podnoszona dźwignią, ale jest niewielka kwestia skalowania... Powiedzmy, że podwoimy rozmiar wszystkiego – promień kuli oraz szerokość i grubość dźwigni. „Wytrzymałość” potęguje się, licząc razy cztery (jest ona mniej więcej proporcjonalna do iloczynu jej szerokości i grubości), ale obciążenie wzrośnie ośmiokrotnie. Zwiększając skalę w końcu przekroczymy możliwości dowolnego materiału, z jakiego da się wytworzyć dźwignię.

Jaki to ma związek z zaszumionymi filtrami? Cóż, okazuje się, że sprawy tutaj również nie skalują się tak, jak można by się spodziewać. W tym dwuczęściowym artykule dotyczącym filtrów przyjrzymy się niektórym podstawowym mechanizmom powstawania szumów. Do tego celu użyjemy symulacji SPICE, aby zilustrować granice wydajności filtrów, które często stosuje się w układach elektronicznych. W pierwszej odsłonie skoncentrujemy się na filtrach analogowych, przy czym największą bombę zarezerwowano dla części drugiej — poświęconej odpowiednikom cyfrowym. Tak, filtry cyfrowe również generują szum! Czasami w niespodziewanie, nawet niedopuszczalnie dużych ilościach. W części 2 zobaczymy, jak można wykorzystać symulację szumu SPICE przy filtrach cyfrowych, umożliwiając bezpośrednie porównanie z rozwiązaniem analogowym.

Przy okazji, jeśli interesujecie się niskoszumnymi filtrami może was zaciekawić książka Douga Selfa: „The Design of Active Crossovers”. Chociaż koncentruje się ona na konkretnej aplikacji audio, materiały tam zawarte mają szerokie zastosowanie, a lektura jest świetnym dodatkiem do kanonu publikacji dotyczących filtrów analogowych w świecie rzeczywistym. W tym artykule przyjrzymy się nieco bardziej fundamentalnym problemom związanym z szumem w filtrach analogowych, aby przygotować scenę do ewentualnej konfrontacji z odpowiednikami cyfrowymi. Które podejście wygra? Jak to się skończy? Musicie z tym rozstrzygnięciem poczekać na 2 część tego artykułu.

Skoncentrujemy się tutaj na filtrach dolnoprzepustowych, których szerokości pasma szumów są zasadniczo określane przez odpowiedź filtra. Również w przypadku filtrów pasmowoprzepustowych poziomy szumów są generalnie determinowane przez iloczyn wzmocnienia i szerokości pasma zastosowanych wzmacniaczy.

Skąd, więc biorą się szumy w filtrze analogowym? Cóż, na pewno część z nich pochodzi od op-ampów. Każda topologia filtra aktywnego ma swoje własne: „wzmocnienie szumów”. Co powoduje, że nieodłączny szum napięcia wejściowego wzmacniacza operacyjnego ma formę spektralną w pewien sposób powiązaną — ale nie identyczną — z rzeczywistym kształtem funkcji przenoszenia sygnału, który filtr tworzy. Jest to fundamentalny fakt dla całego procesu projektowania obwodów — nie zawsze przetwarza on własny szum wewnętrzny w taki sam sposób, w jaki procesuje sygnały wejściowe, które są do niego podawane.

Wiele op-ampów ma kilka źródeł szumów pochodzących niewyłącznie od napięcia wejściowego. Konsekwencją jest to, że każda skończona impedancja źródła dołączona do wejścia wzmacniacza filtra, a zatem przepuszczająca prąd szumu tworzy dodatkowe napięcie, które również przyczynia się do zwiększenia ogólnego poziomu zakłóceń. Każda topologia znowu ma tutaj swoją własną sygnaturę, zależną również od pozornych impedancji układu rezystor-kondensator dołączonych do wzmacniacza.

Ostatnim, ale zdecydowanie nie zawsze najmniejszym, jest podstawowy wkład szumów samych elementów pasywnych — rezystorów i kondensatorów, ponieważ nie rozważamy żadnych egzotycznych filtrów aktywnych zawierających cewki indukcyjne. Istnieją dwa sposoby patrzenia na ten szum, które mogą wydawać się diametralnie przeciwstawne, ale w rzeczywistości wywodzą się z tej samego dna — praw fizyki.

Jedna wspólna perspektywa utrzymuje, że szum Johnsona w rezystorach jest jedynym źródłem energii zakłóceń w obwodzie. Podczas gdy kondensatory są od nich wolne i wpływają tylko na zachowanie szumów obwodu poprzez interakcję ich impedancji zależnych od częstotliwości z rezystancją obwodu. Oporność na przepływ prądu jest główną właściwością materii; wszystko, co jest z niej wykonane ma niezerową temperaturę bezwzględną, a zatem ma pewną energię cieplną w swojej strukturze — porusza ona wolnymi ładunkami w oporniku i powoduje powstawanie zmiennego potencjału szumów w dowolnych dwóch punktach w przewodniku. Daje to odpowiedzi, które pasują do eksperymentu i jest sposobem, w jaki SPICE oblicza szum w obwodzie. W symulacji SPICE udział szumu Johnsona każdego rezystora na wyjściu jest szacowany przy użyciu analizy liniowej AC, a wszystkie zakłócenia są podnoszone do kwadratu i dodawane do siebie. Pierwiastek kwadratowy z tej sumy to całkowita wartość skuteczna napięcia szumów.

Jest, jednak jeszcze inne podejście często używane przez projektantów układów scalonych. Potrzebę jego istnienia można wywnioskować z eksperymentu myślowego, który pozwala wartościom rezystorów dążyć do nieskończoności. Ponieważ gęstość napięcia szumu Johnsona rezystora jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego wartości rezystancji, wyraźnie kłopotliwe byłoby obliczanie napięcia szumu rezystora jako nieskończone. Dla fizyków teoretycznych żonglowanie nieskończonościami w ramach codziennej pracy nie jest niczym niestandardowym, ale w codziennym, inżynierskim świecie nie widzimy wysokich napięć pojawiających się na nóżkach rezystorów o bardzo dużej wartości rezystancji.

W tym drugim podejściu ignorujemy rezystory i koncentrujemy się na kondensatorach w układzie. Klasycznym sposobem wykorzystania tego ujęcia jest rozważenie równoległego rezystora R i kondensatora C oraz napięcia szumów tej kombinacji. Całkowite napięcie szumu jest iloczynem dwóch części: gęstości napięcia równoważnej do √R i pierwiastka kwadratowego szerokości pasma pomiarowego, która jest analogiczna do 1/√(RC). Tak więc całkowity szum jest proporcjonalny do 1/√C, a wartość rezystora nawet nie wchodzi w finalne wyrażenie. Wraz ze zmianą wartości rezystora przeobraża się gęstość widmowa szumu. Jednak całkowity współczynnik szumu całkowanego w całym pasmie jest stały. Dotyczy to jakichkolwiek wysokich wartości rezystancji, co oczywiście skutkuje dowolnie niskimi parametrami szerokości pasma oraz napięciami szumowymi, które mogą zmieniać się bardzo wolno.

Nie oznacza to, że kondensatory faktycznie generują szum. Resztkowa niepewność napięcia na kondensatorze równolegle z nieskończenie dużym rezystorem (połączenie ma zerową przepustowość) wskazuje na szum Johnsona, na który był narażony w przeszłości. A dokładnie, kiedy napięcie było definiowane przez kontakt z obwodem, gdzie rezystancja była skończona. Kondensator zmierzył szum Johnsona rezystora w obwodzie, który go ładował i teraz zatrzymuje go na swojej pojemności. Co ciekawe, to zachowanie uogólnia się na każdy układ RC, także ten aktywny. Jeśli utrzymamy stałe wartości kondensatorów w filtrze aktywnym i przeskalujemy częstotliwość graniczną tylko za pomocą rezystorów, które ją określają, całkowity udział szumów z części pasywnej układu pozostanie stały.

Możemy łatwo wykazać tę stałość za pomocą symulacji. Rysunek 1 pokazuje prosty filtr dolnoprzepustowy Sallen-Key (filtr Butterwortha drugiego rzędu), którego wartości są obliczane na arkuszu dla schodkowego zestawu częstotliwości odcięcia. Wartość kondensatora dołączonego do masy jest ustalona na 100 nF. A drugi kondensator jest obliczany w arkuszu kalkulacyjnym (dla wybranego ustawienia filtra Butterwortha będzie to 200 nF). Wartość tych dwóch kondensatorów jest utrzymywana na stałym poziomie w miarę zwiększania częstotliwości, a za każdym razem obliczana jest nowa rezystancja pary rezystorów R1 i R2.



Rysunek 2 przedstawia charakterystykę częstotliwościową filtru dla częstotliwości granicznych od 10 Hz do 3160 Hz.



Rysunek 3 pokazuje gęstość szumu w funkcji częstotliwości, wykorzystując wzmacniacz bezszumowy (idealny op-amp). Wszystkie zbiegają się do tej samej wartości — 287 nV(rms) — w testowanym paśmie, które rozciąga się od 0,2205 Hz do 22050 Hz (kto pracuje z dźwiękiem od razu skojarzy ten zakres!).



Gdy myślimy o tym, jak poziomy hałasu mogą się przekształcać w zależności od wyboru częstotliwości odcięcia, podejście oparte na stałym kondensatorze wydaje się bardziej podstawowe niż utrzymywanie stałych rezystorów i zmienianie pojemności kondensatorów (co zmodyfikowałoby zasadniczy poziom szumu). Wiedza, że całkowity szum jest stałej wartości, usuwa jeden czynnik z równania przy projektowaniu systemu. Wracając do metafory Archimedesa — jest to jeden z przykładów, w których skalowanie parametrów w eksperymencie ma mniejsze znaczenie, niż można by się spodziewać.

Oczywiście sprawy stają się bardziej skomplikowane, gdy używamy rzeczywistego wzmacniacza operacyjnego z własnym wkładem szumów napięciowych i prądowych. Każdy element dodaje wkład do szumu całkowitego. Szum napięciowy dorzuca wkład do zakłóceń, którego wartość rośnie wraz z pierwiastkiem kwadratowym pasma, które widzi wzmacniacz, co z kolei jest proporcjonalne do częstotliwości odcięcia filtra. Tymczasem szum prądowy na wejściach wzmacniacza generuje równoważny człon szumu napięciowego adekwatny do poziomu impedancji, który jest odwrotnie proporcjonalny do częstotliwości odcięcia — wkład ten rośnie wraz z jej spadkiem. Obecność szumu różowego (1/f) zarówno pod względem szumów prądu, jak i napięcia powoduje jeszcze większą złożoność analizy. Wszystkie te elementy generujące zakłócenia można umieścić w prostym makromodelu: „uniwersalnego wzmacniacza operacyjnego” dołączonym do pakietu SPICE (np. LTspice). Tabela 1 pokazuje wartości szumu całkowanego na wyjściu filtra w symulacji, ponieważ coraz więcej tych mechanizmów staje się niezerowych. Użyte współczynniki zostały zinterpolowane z arkusza danych układu NE5532, popularnego podwójnego wzmacniacza operacyjnego stosowanego w aplikacjach audio (i ulubionego op-ampa wcześniej wspomnianego Douga Selfa).



Rysunek 4 przedstawia wyniki tabeli 1 w bardziej: „biznesowej” prezentacji w postaci wykresu słupkowego. Łatwo jest zobaczyć trendy dotyczące wartości szumów napięcia (eN) i prądu (iN). A także dominujący udział zakłóceń 1/f (szumu różowego) w sygnale przy niskich częstotliwościach odcięcia. Rzeczywiście istnieje jakaś: „optymalna” częstotliwość odcięcia, przy której całkowity szum napięciowy jest minimalny.



Takie podejście daje podstawowy przykład tego, jak zaszumiony może być kompetentnie zaprojektowany analogowy filtr aktywny. W części 2 tego artykułu przyjrzymy się, jak w znaczący sposób obliczyć i symulować poziom szumów równoważnego filtra cyfrowego. Zobaczymy także, że istnieje mechanizm generujący szum w powszechnie używanej topologii filtrów cyfrowych, czego nie uda się zignorować, a efekty skalowania odbijają się w dużym stopniu na całym torze sygnałowym.

Źródło: https://www.planetanalog.com/which-filters-are-noisier-analog-or-digital-part-1-2/