Chciałbym rozwiązać parę zadań z elektrotechniki, ale sam raczej nie dam rady (w każdym razie nie bez błędów, których sam nie zauważę...).
Ponieważ tych zadanek trochę jest (dokładnie 7), to chętnie zapłacę komuś za ich poprawne rozwiązanie, powiedzmy 50PLN.
Przy czym - dla bezpieczeństwa obu stron - proponuję wystawienie tego "zlecenia" jako aukcji prywatnej na Allegro.
Stałą czasową τ w obwodzie można wyznaczyć rozwiązując ten obwód, czyli znajdując równanie (wartości chwilowej) prądu płynącego przez rezystor R1, przy załączeniu obwodu pod napięcie o wartości U.
Wartość stałej czasowej będzie w czynniku ekspotencjalnym w równaniu wartości chwilowej prądu płynącym przez rezystor R1.
Mamy równania:
Prądy dla węzła (pierwsze prawo Kirchhoffa):
iC(t) + iR(t) = iR1(t), (1), oraz równanie wynikające z drugiego Prawa Kirchhoffa:
U = iR1(t)•R1 + iR(t)•R , (2) i równania dla kondensatora:
- napięcia na kondensatorze;
uC(t) = 1/C•∫iC(t)•dt, (3),
- prądu ładowania kondensatora;
iC(t) = C•duC(t)/dt, (4), ale równanie prądu iR(t) uzwględniając zależność (3) można zapisać:
iR(t) = uC(t)/R = [1/(R•C)]•∫iC(t)•dt , (5), więc zależności (1) i (2) przyjmą postać:
iC(t) + [1/(R•C]•∫iC(t)•dt = iR1(t), (6),
U = iR1(t)•R1 + R•[1/(R•C]•∫iC(t)•dt, (7),
powyższe dwa równania stanową układ równań, które należy rozwiązać ze względu na prądy; iR1(t) oraz iC(t) Najszybciej droga rozwiązania prowadzi poprzez metodę operatorową (a pamiętając, iż kondensator C nie posiada ładunku, więc nie trzeba uzwglęniać tego, jako warunku początkowego, w równaniach), czyli
iR1(t) ===> [transformata Laplace'a] ===> IR1(s),
iC(t) ===> [transformata Laplace'a] ===> IC(s), oraz równania;
IC(s) + IC(s)/(s•R•C) = IR1(s), (6a),
U/s = IR1(s)•R1 + R•IC(s)/(s•R•C), (7a).
To jeden ze sposobów, drugi; to bezpośrednie napisanie równania operatorowego (nie ma początkowego napięcia na kondensatorze)
na transformatę Laplace'a prądu IR1(s) , czyli wykorzystanie Prawa Ohma dla zapisu operatorowego.
Mamy tu;
U(s) = U/s, (8),
Z(s) = R1 + 1/(1/R + s•C) = R1 + 1/{C•[(1/(R•C) + s]} =
{R1•C•[1/(R•C) + s] + 1}/{C•[(1/(R•C) + s]} =
{R1 +s•R•R1•C + R}/{C•[1/(R•C) + s]} =
{[s + (R1 + R)/(R1•R•C)]•R •R1•C}/{(R•C)•[1/(R•C) + s]} =
R1•[s + (R1 + R)/(R1•R•C)]/[s + 1/(R•C)] =
R1•{s + 1/[(R1•R•C)/(R1 + R)]}/[s + 1/(R•C)], (9), czyli;
Z(s) = R1•(s + α)/(s + α1), (9a), oraz;
IR1(s) = U(s)/Z(s) , (10), gdzie;
α = 1/{[(R1•R)/(R1 + R)]•C}, (9b)
α1 = 1/(R•C), (9c), czyli;
IR1(s) = (U/s)/[R1•(s + α)/(s + α1)] = {[(U/R1)/s]•(s + α1)}/(s + α) = (U/R1)•L(s)/[s•M(s)], (11), gdzie
L(s) = s + α1,
M(s) = s + α.
Odwrotną transformatę Laplace'a należy znaleźć z wyrażenia (które jest ułamkiem wymiernym), jak niżej:
W(s) = L(s)/[s•M(s)] = (s + α1)/[s•(s + α)], (12), wprost w tablicach transformat, lub skorzystać z drugiego Twierdzenia o Rozkładzie (treść tw. podaruję sobie).
w(t) = L(0)/M(0) + ∑{L(sk)/[sk•M'(sk)]}exp[αk•t], (13) gdzie;
sk - pierwiastki jednokrotne z równania M(s) = 0 (tu; s + α = 0 , czyli s1 = -α), a suma rozciąga się na wszystkie k pierwiastków zależności (13).
Na podstawie tablic transformat Laplace'a jest dla obrazu funkcji (wyrażenie (12)):
W(s) = (s + α1)/[s•(s + α)] , funkcja oryginalna:
w(t) = [α1 -(α1 - α)•exp[-α•t]]/α, (14),
Pamiętając, iż stała czasowa;
τ = 1/α = [(R1•R)/(R1 + R)]•C, czyli iloczynowi rezystancji zastępczej z połączenia równoległego rezystorów R1 i R oraz pojemności C.
Dla całości rozwiązania wyliczę w(t) na podstawie tablic, czyli z wyrażenia (14), oraz wyliczę (niejako dla sprawdzenia) z podanego tu wzoru z drugiego Twierdzenia o Rozkładzie.
Może najpierw Twierdzenie, mamy:
s1 = -α,
L(0) = 0 + α1 = α1,
M(0) = 0 + α = α,
M'(s) = d/ds, czyli;
M'(s) = 1 ==> M'(s1) =1,
L(s1) = -α + α1 = α1 - α, a więc na podstawie zapisu (13) mamy;
w(t) = α1/α + [(α1 - α)/(-α)]•exp[-α•t] = [α1 - (α1 - α)•exp[-α•t]]/α, (15), jak widać wyrażenie jest identyczne jak wyrażenie (14) (czego należało oczekiwać).
Pozostaje powrót do parametrów obwodu, czyli;
iR1(t) = (U/R1)•w(t) = (U/R1)•[α1 - (α1 - α)•exp[-α•t]]/α i dalej po podstawieniu wyrażeń za α oraz α1;
iR1(t) = (U/R1)•[1/(R•C) - [1(R•C) - 1/[R1•R•C/(R1 + R)]•exp[-α•t]]/{1/[R1•R•C/(R1 + R)]•}, po wymnożeniu licznika i mianownika przez R•C wyrażenie ulegnie znacznemu uproszczeniu:
