Jak wyznaczyć spadek napięcia Ur w obwodzie RLC po otwarciu wyłącznika?

Witam!
Mam prośbę do wszystkich znających się na rzeczy. Czy ktoś mógłby rozwiązać (i opisać jak to się robi) zadanie przedstawione na rysunku? Chodzi o wyznaczenie spadku napięcia Ur po otwarciu wyłącznika (stany nieustalone). Potrafię zrobić takie zadanie dla układów RC i RL, ale dla RLC już nie mam pomysłu (mam nawet problem ze zdefiniowaniem warunków początkowych). Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc (ewentualne źródła wiedzy w postaci linków również mile widziane).
Podaję dane:
e(t)=Esin(ωt+φ), E=100V, R=ωL=10Ω, C=$$\frac{4L}{R^2}$$, φ=30*, f=50Hz
Wyłącznik został otwarty w chwili t=0


Pozdrawiam.

Taka na szybkiego bez obliczeń to przed komutacją napięcie na rezystorze wynosi 70.7V bo XL=R i tyle samo na cewce. A z dobroci Q wynika ze po otwarciu włącznika powstanie tylko jeden impuls bo dobroć równa się 1.
Tylko tyle pamiętam ze stanów nieustalonych w obwodach LCR.
Ale jak obliczyć te napięcie to nie mam pomysłu.
Bo jak mam rozumieć ze włącznik otworzy sie w chwili t0
Bo wielkość tego jednego "impulsu" na rezystorze na pewno biedzie zależeć
od aktualnej wartości Et. Impuls ten na pewno będzie większy gdy rozłączymy gdy Et=100V a mniejszy gdy Et=0V
.

jony napisał:

(...) Bo jak mam rozumieć ze włącznik otworzy sie w chwili t0 (...)

Chodzi o to, że komutacja następuje w momencie, gdy zmienna t=0 i takie podstawienie trzeba wprowadzić do równań.

Witam,

jony napisał:

Taka na szybkiego bez obliczeń to przed komutacją napięcie na rezystorze wynosi 70.7V bo XL=R i tyle samo na cewce. A z dobroci Q wynika ze po otwarciu włącznika powstanie tylko jeden impuls bo dobroć równa się 1.
Tylko tyle pamiętam ze stanów nieustalonych w obwodach LCR.
Ale jak obliczyć te napięcie to nie mam pomysłu.
Bo jak mam rozumieć ze włącznik otworzy sie w chwili t0
Bo wielkość tego jednego "impulsu" na rezystorze na pewno biedzie zależeć
od aktualnej wartości Et. Impuls ten na pewno będzie większy gdy rozłączymy gdy Et=100V a mniejszy gdy Et=0V
Na pewno kolega Quarz wie jak to zrobić ,może podpowie.

oczywiście, że wie, ale został dziś dostecznie zniechęcony przez Moderatorów, by cokolwiek tu pisać...
Podpowiedź dla autora tematu; przed otwarciem wyłącznika w obwodzie panuje stan ustalony.
Należy więc na chwilę t=0 policzyć wartość energii w elementach zachowawczych, czyli wartość chwilową napięcia UC(0-) na kondensatorze C i wartość chwilową prądu IL(0-) płynącego przez cewkę L.
Potem należy narysować schemat obwodu po komutacji i z uwzględnieniem źródeł wynikajacych z nagromadzonych energii w L i C.
Na podstawie w/w schematu napisać równanie różniczkowo-całkowe, a wynikające z drugiego Prawa Kirchhoffa (szeregowy obwód R-L-C) i je rozwiązać obraną metodą:
- klasyczną,
- operatorową.
Pamiętaj, że z danych zadania wynika:
ω = 2•Π•f =2•Π•50Hz=100•ΠHz i
L = R/ω =10Ω /(100•ΠHz)=0,1/ΠH
Z zależności: C = 4•L/R^2 =4•(R/ω)/R^2 = 4/(ω•R) = 4/(100•ΠHz•10Ω=1/(250•Π)F
Warto na początek policzyć wartość rezystancji krytycznej Rk i w ten sposób znać jaki jest charakter przebiegu prądu i(t) w obwodzie:
Rk = 2•√(L/C) i porównać ją z wartością rezystancji obwodu R =10Ω
Mogą zajść trzy przypadki:
1. R < Rk, w obwodzie powstają okresowe drgania tłumione dane równaniem prądu:
i(t) = A1•exp[-α•t]•sin(β•t),
2. R = Rk, obwód jest tłumiony krytycznie i wtedy w obwodzie popłynie prąd aperiodyczny, nieokresowy i o najkrótszym czasie ustalania się:
i(t) = A2•t•exp[-α•t].
3. R > Rk, obwod jest przetłumiony i podobnie jak w pkt. 2, przebieg jest aperiodyczny, ale o dłuższym czasie ustalania się, a równanie prądu jest takie:
i(t) = A3•exp[-α•t]•sh(j•β•t).
Gdzie A1, A2, A3, odpowiednie współczynniki zależne od warunków początkowych i parametrów obwodu (nie napisałem dokładnych wyrażeń, by Kolega miał co liczyć...).
α = R/(2•L) - dekrement tłumienia szeregowego obwodu R-L-C.
β = √[1/(L•C) - (R/(2•L))^2] = √(ω^2 - α^2) - pulsacja drgań swobodnych, gdzie
ωo = 1/√(L•C) - pulsacja rezonansowa szeregowego obwodu L-C.
j = √(-1) - jednostka urojona.

Napisz tu co sam zrobiłeś i jeśli będę dziś w stanie Tobie pomóc to to zrobię.

Pozdrawiam

A więc po kolei:
Zadane liczymy metodą klasyczną.
Pierwsze co zrobiłem to obliczenie ω, L i C (co kolega już zrobił):
$$\omega=2\pi f=314Hz$$

$$L=\frac{10}{\omega}=31mH$$

$$C=\frac{4L}{R^2}=1,24mF$$

Następny krok to warunki początkowe:
Napięcie na pojemności jest równe napięciu źródłowemu:
$$Uc(0-)=e(t)=100sin(\omega t+\varphi)$$

Obliczamy wartość prądu płynącego przez cewkę metodą liczb zespolonych:
$$E=\frac{100}{\sqrt{2}}e^{j30}$$

$$I=\frac{E}{Z}$$

$$Z=R+\omega L =10+j10=14,1e^{j45}$$

$$I=\frac{\frac{100}{\sqrt{2}}e^{j30}}{14,1e^{j45}}=\frac{7,09}{\sqrt{2}}e^{-j15}$$

$$I(0-)=7,09sin(\omega t-15)$$

$$Ur=RI=\frac{70,9}{\sqrt{2}}e^{-j15}$$

$$Ur(0-)=70,9sin(\omega t-15)$$

Obliczamy rezystancję krytyczną:
$$Rk=2\sqrt{\frac{L}{C}}=10$$
Rk = R

Układamy równania opisujące układ:
$$iR+L\frac{di}{dt}=Uc$$

$$i=C\frac{dUc}{dt}$$

Na podstawie równań układamy równanie różniczkowe:
$$LC\frac{d^{2}Uc}{dt^2}+RC\frac{dUc}{dt}-Uc=0$$

Na razie tylko tyle zdążyłem wyliczyć. Prosiłbym o sprawdzenie - ciąg dalszy nastąpi

Pozdrawiam.

Witam,
kilka spraw wymaga tu naprostowania.
Przede wszystkim, to nie widzę wyliczonej wartości UC(0-)=liczbajednostka, oraz podobnie IL(0-)...
Jednak by tego dokonać, należy znaleźć odpowiednie równania:
- napięcia na kondensatorze; uC(t) = UCm•sin(ω•t + ψuC)
- prądu płynącego przez cewkę; iL(t) = ILm•sin(ω•t + ψiL)
i poprzez podstawienie; t = 0 wyliczenie w/w wartości początkowych.

Należy bezwzględnie skonfrontować wyliczoną wartość rezystancji krytycznej Rk z wartością rezystancji obwodu R i wyciągnąć z tego faktu właściwy wniosek.

Znalezione równanie różniczkowe zwyczajne drugiego stopnia, należy trochę przekształcić, by doprowadzić je do postaci kanonicznej:
x'' + 2•A•x' + B² = 0, gdzie oczywiście;
x' - pierwsza pochodna poszukiwanej zmiennej,
x'' - druga pochodna poszukiwanej zmiennej.

- Pamiętając o wcześniej wspomianym porównaniu Rr z R wyciągnąć właściwy wniosek co do wartości pierwiastków r1, r2, równania charakterystycznego:
r² + 2•A•r + B² = 0 (poprzez sprawdzenie, ale przy obliczeniach dokładnych, czyli dla wartości L i C związanych z R jakie ja zapisałem wyjdzie potwierdzenie w/w wniosku).

- Przypomnieć sobie jaka jest całka ogólna (rozwiązanie ogólne) dla równania różniczkowego zwyczajnego drugiego stopnia.

- Uwzględniając warunki początkowe, czyli wartość napięcia na kondensatorze UC(0-) i prądu płynącego w cewce IL(0-) znaleźć całkę szczególną (rozwiązanie szczególne) poszukiwanej funkcji, tu; uC(t).

- Dla znalezionej całki szczególnej sprawdzić zgodność warunków brzegowych: wartość; uC(t = 0) i wartość; uC(t => ∞) .

- Powyższe czynności i zapisy stanowić będą całość rozwiązania Metodą Klasyczną.

Pozdrawiam

A więc wartości Uc oraz IL w chwili t=0:
Uc(0-)=100sin(30)=50V
I(0-)=7,09sin(-15)=-1,83A

Quarz w pierwszym poście napisał:

(...) 2. R = Rk, obwód jest tłumiony krytycznie i wtedy w obwodzie popłynie prąd aperiodyczny, nieokresowy i o najkrótszym czasie ustalania się:
i(t) = A2•t•exp[-α•t]. (...)

Czy nie powinno być tak (tak mam w notatkach):

$$A1e^{-\alpha t}+A2te^{-\alpha t}$$

Quarz napisał:

(...) - Pamiętając o wcześniej wspomianym porównaniu Rr z R wyciągnąć właściwy wniosek co do wartości pierwiastków r1, r2, równania charakterystycznego:
r² + 2•A•r + B² = 0 (poprzez sprawdzenie, ale przy obliczeniach dokładnych, czyli dla wartości L i C związanych z R jakie ja zapisałem wyjdzie potwierdzenie w/w wniosku). (...)

Tego fragmentu nie bardzo rozumiem... Czy mam po prostu zapisać, że na podstawie porównania wartości Rk i R, przewiduję rozwiązanie postaci jak przy poprzednim cytacie?

Ja zrobiłem to tak:
Przekształciłem równanie różniczkowe i wyliczyłem deltę:

$$\frac{{d^2}Uc}{dt^2}+\frac{R}{L} \frac{dUc}{dt}-\frac{1}{LC}Uc=0$$

$$r^2+\frac{R}{L}r-\frac{1}{LC}=0$$

$$\Delta=(\frac{R}{L})^2-4\frac{1}{LC}=0$$

Delta wyszła 0, co oznacza, że rezystancja krytyczna powinna być równa rezystancji w obwodzie (i tak też jest), a całka ogólna powinna być postaci:

$$y=A1e^{-\alpha x}+A2xe^{-\alpha x}$$

Czyli składowa przejściowa napięcia na kondensatorze będzie opisana równaniem:

$$Ucp=A1e^{-\alpha t}+A2te^{-\alpha t}$$

Proszę sprawdzić czy do tego momentu jest ok.

Pozdrawiam.

Witam,

ogryz napisał:

A więc wartości Uc oraz IL w chwili t=0:
Uc(0-)=100sin(30)=50V
I(0-)=7,09sin(-15)=-1,83A

wyliczone wartości początkowe są prawidłowe.

ogryz napisał:

Quarz w pierwszym poście napisał:

(...) 2. R = Rk, obwód jest tłumiony krytycznie i wtedy w obwodzie popłynie prąd aperiodyczny, nieokresowy i o najkrótszym czasie ustalania się:
i(t) = A2•t•exp[-α•t]. (...)

Czy nie powinno być tak (tak mam w notatkach):

$$A1e^{-\alpha t}+A2te^{-\alpha t}$$

Zauważ, iż ja podałem poprzednio równanie prądu i(t) w obwodzie, a Ty poszukujesz równania napięcia uC(t) na kondensatorze, to po pierwsze.
Po drugie, podane przeze mnie równanie prądu jest już rozwiązaniem szczególnym, natomiast Ty zapisałeś, dla tego przypadku, całkę rozwiązania ogólnego.
Po trzecie, pomiędzy równaniem prądu w obwodzie, a napięciem na kondensatorze istnieje związek:
uC(t) = (1/C)•∫i(t)• dt + UC(0-), lub odwrotnie:
i(t) = C•[d/dt uC(t)]

ogryz napisał:

Quarz napisał:

(...) - Pamiętając o wcześniej wspomianym porównaniu Rr z R wyciągnąć właściwy wniosek co do wartości pierwiastków r1, r2, równania charakterystycznego:
r² + 2•A•r + B² = 0 (poprzez sprawdzenie, ale przy obliczeniach dokładnych, czyli dla wartości L i C związanych z R jakie ja zapisałem wyjdzie potwierdzenie w/w wniosku). (...)

Tego fragmentu nie bardzo rozumiem... Czy mam po prostu zapisać, że na podstawie porównania wartości Rk i R, przewiduję rozwiązanie postaci jak przy poprzednim cytacie?

Oczywiście, po to analizuje się teoretycznie, pokazane przeze wcześniej, trzy możliwe przypadki rozwiązania, by przy konkretnych wartościach parametrów obwodu z tej informacji skwapliwie skorzystać i nie poszukiwać rozwiązania "w ciemno".

ogryz napisał:

Ja zrobiłem to tak:
Przekształciłem równanie różniczkowe i wyliczyłem deltę:

$$\frac{{d^2}Uc}{dt^2}+\frac{R}{L} \frac{dUc}{dt}-\frac{1}{LC}Uc=0$$

Tylko tu jest błąd znaku, którego w poprzednim Twoim poście nie zauważyłem.
Powinno być tak:
$$\frac{{d^2}Uc}{dt^2}+\frac{R}{L} \frac{dUc}{dt}+\frac{1}{LC}Uc=0$$
Jest to równanie rozwiązania ogólnego, a więc po lewej jest suma napięć na elementach obwodu (przekształcona), a prawa strona musi być równa zero.

ogryz napisał:

$$r^2+\frac{R}{L}r-\frac{1}{LC}=0$$

Konsekwentnie z poprzednim musi być:
$$r^2+\frac{R}{L}r+\frac{1}{LC}=0$$

ogryz napisał:

$$\Delta=(\frac{R}{L})^2-4\frac{1}{LC}=0$$

Ale tutaj był błąd, który teraz (po zmianie znaku w równaniu wyżej) już błędem nie jest i to już Ciebie nie usprawiedliwia (wzór na wyróżnik równania kwadratowego)...

ogryz napisał:

Delta wyszła 0, co oznacza, że rezystancja krytyczna powinna być równa rezystancji w obwodzie (i tak też jest), a całka ogólna powinna być postaci:

$$y=A1e^{-\alpha x}+A2xe^{-\alpha x}$$

Prawidłowo, ale to jest przecież całka ogólna rozwiązania, a końcowy wynik to całka szczególna.

ogryz napisał:

Czyli składowa przejściowa napięcia na kondensatorze będzie opisana równaniem:

$$Ucp=A1e^{-\alpha t}+A2te^{-\alpha t}$$

Proszę sprawdzić czy do tego momentu jest ok.

Jest poprawnie.
Przypomnę tylko, że dla równania różniczkowego zwyczajnego drugiego stopnia, potrzebne są dwa warunki początkowe (t = 0-);
- wartość poszukiwanej funkcji f(t = 0-),
- wartość pierwszej pochodnej poszukiwanej funkcji f'(t = 0-), więc co jest tą wartością dla tego obwodu?

ogryz napisał:

Pozdrawiam.

Również pozdrawiam

Rzeczywiście, nie zauważyłem szkolnych błędów, które później powielałem...

Odnośnie całki szczególnej - przyznam szczerze, że nie bardzo wiem jak się za nią zabrać (wiem, nie trzeba było spać na wykładach)
Zawsze liczyłem równania niejednorodne. Wtedy na podstawie tego, co znajdowało się po prawej stronie znaku równości, przewidywałem postać rozwiązania, obliczałem jego pierwszą i drugą pochodną, a następnie otrzymane wartości podstawiałem zamiast zmiennych w równaniu niejednorodnym. Tutaj mam do czynienia z równaniem jednorodnym i nie wiem, co wstawić po prawej stronie znaku równości. Domyślam się, że będzie to miało związek z warunkami początkowymi, tylko nie wiem jak to zapisać...

Pozdrawiam.

Witam,
no tak, od spania jest inna pora dnia i miejsce...
Tu sprawa jest prosta, ponieważ mając całkę rozwiązania ogólnego w której niewiadome są wartości dwóch stałych; A1 i A2, a więc należy je znaleźć, by mieć rozwiązanie szczególne.
Skoro poszukiwane są dwie niewiadome, to jeśli rozwiazanie ma być jednoznaczne, to trzeba i dwóch niezależnych równań.
Jedno równanie już jest, jest to całka rozwiązania ogólnego gdzie należy dla t = 0 podstawić uC(0-) (przecież poszukujemy równania napięcia na kondensatorze, które spełniając warunki komutaccji jest ciągłe), natomiast drugie równanie to pochodna tego napięcia dla t = 0, czyli zero-minus.
Czemu jest równa ta pochodna to napisałem już w poprzednim moim poście, ale ona również jest ciągła i spełnia warunki komutacji.
Czyli, tak mi się wydaje, już wszystko jasne i w następnym Twoim poście zobaczę całkę równania szczególnego, czyli poszukiwane równanie napięcia na kondensatorze uC(t).

Pozdrawiam

A więc tak (takiego zapisu ode mnie wymagają):

$$Uc(0+)=Ucu+Ucp=0+A1e^{-\alpha t}+A2te^{-\alpha t}$$

Uc(0-)=100sin(ωt+30)

Uc(0-)=Uc(0+)

$$100sin(\omega t+30)=A1e^{-\alpha t}+A2te^{-\alpha t}$$ |dla t=0

50=A1


$$Ic(0+)=Icu+Icp=0+[-\alpha A1e^{-\alpha t}+A2(e^{-\alpha t}-\alpha te^{-\alpha t})]$$

Ic(0-)=7,09sin(ωt-15)

Ic(0-)=Ic(0+)

$$7,09sin(\omega t-15)=[-\alpha A1e^{-\alpha t}+A2(e^{-\alpha t}-\alpha te^{-\alpha t})]$$ |dla t=0

-1,83=-αA1+A2 => A2=50α-1,83


No i wartość napięcia Uc(t):

$$Uc(t)=50e^{-\alpha t}+(50\alpha-1,83)te^{-\alpha t}$$

Tradycyjnie proszę o sprawdzenie poprawności i przy okazji pytanie: czy w celu skrócenia zapisu, zamiast alfy mogę podstawić jej wartość liczbową wyliczoną ze wzoru α=R/2L ?

Pozdrawiam.

Witam,
już widzę zapis poprawnie. Proszę też nie zapominać o symbolach operacji arytmetycznych.
Równanie dotyczy wartości chwilowej, a więc stosujemy małe litery u oraz i (oczywiście, nie można napisać indeksu dolnego i z dużą literą wygląda to nieładnie, ale jest komunikatywne).
Gdzieś tam powinno być jawnie widać (podwójny zapis), co jest funkcją r-nia jednorodnego, a co jego pochodną.
Oczywiście w końcowym równaniu powinny być tylko jawne współczynniki liczbowe.

Pozdrawiam

Dziękuję bardzo za pomoc! Prawie wszystko już jasne
Prawie, bo mam jeszcze jedno pytanie: współczynnik tłumienia α wychodzi mi ok. 160, wskutek czego współczynnik A2 osiąga wartość kilku tysięcy. Czy taka wartość jest prawidłowa, czy popełniłem gdzieś błąd? Jak interpretować tak dużą wartość?

Jeśli jeszcze nie straciłeś cierpliwości, prosiłbym o pomoc przy wyliczeniu tego samego zadania metodą operatorową Jak się bowiem okazało, również tutaj mam pewne problemy...

Na początek zamieszczam schemat układu po komutacji:


Warunki początkowe będą takie same, więc nie przepisuję ich po raz drugi.
Wzór na prąd w obwodzie:

$$I(s)=\frac{\frac{50}{s}-0,056}{R+sL+\frac{1}{sC}}$$

Czy powyższe zapisy są prawidłowe? Mam wątpliwość co do wartości źródła przy cewce...

Pozdrawiam.

Witam,

ogryz napisał:

Dziękuję bardzo za pomoc! Prawie wszystko już jasne
Prawie, bo mam jeszcze jedno pytanie: współczynnik tłumienia α wychodzi mi ok. 160,

Dekrement tłumienia α, co już dawno wyliczyłem, wynosi dokładnie;
α = R/(2•L) =10Ω/[(2•0.1/Π)Ωs]=50•Π1/s=(1.57079500000000E+0002)1/s=157,1...1/s

ogryz napisał:

... wskutek czego współczynnik A2 osiąga wartość kilku tysięcy. Czy taka wartość jest prawidłowa, czy popełniłem gdzieś błąd? Jak interpretować tak dużą wartość?

Sprawdzę to jeszcze raz... i skorzystam z MathCADa:



Wykres "nie kłamie", jest prawidłowo.

ogryz napisał:

Jeśli jeszcze nie straciłeś cierpliwości, prosiłbym o pomoc przy wyliczeniu tego samego zadania metodą operatorową Jak się bowiem okazało, również tutaj mam pewne problemy...

Na początek zamieszczam schemat układu po komutacji:


Warunki początkowe będą takie same, więc nie przepisuję ich po raz drugi.
Wzór na prąd w obwodzie:

$$I(s)=\frac{\frac{50}{s}-0,056}{R+sL+\frac{1}{sC}}$$

Czy powyższe zapisy są prawidłowe? Mam wątpliwość co do wartości źródła przy cewce...

Jest trochę więcej: L•iL(0-) =0,1/3,14159Ωs•(-1,83A)=-(5.82507583739444E-0002)Vs=-0,05825...Vs

$$I(s)=\frac{\frac{50}{s}-0,05825}{R+sL+\frac{1}{sC}}$$

Schemat operatorowy jest prawidłowy (po poprawieniu wartości; L•iL(0-)).
Przedstawiony zapis transformaty prądu I(s) proszę doprowadzić do postaci ułamka wymiernego:
I(s) = K•L(s)/M(s) = K•L(s)/(s² + 2•α•s + β²) = K•L(s)/[(s - s1)•(s - s2)] i skorzystać z odpowiednich algorytmów (po podstawieniu wartości liczbowych) służących do znalezienia jednostronnej odwrotnej transformaty Laplace'a, czyli funkcji oryginału i(t).
Można tu skorzystać z Tablic Transformat Laplace'a, wykorzystać Twierdzenie o Rozkładzie, czy też policzyć to Metodą Residułów.

Pozdrawiam

Przekształcając równanie, doszedłem do postaci:

$$I(s)=\frac{50}{L}\frac{1}{s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}}-\frac{0,058}{L}\frac{s}{s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}} =\frac{50}{L}\frac{1}{s^2+2\alpha s+(\omega n)^2}-\frac{0,058}{L}\frac{s}{s^2+2\alpha s+(\omega n)^2}$$

Gdzie $$(\omega n)^2$$ to pulsacja drgań nietłumionych, tylko zapisana w takiej postaci, gdyż z indeksem dolnym się nie dało.

Czy teraz mogę wyłączyć przed nawias $$\frac{1}{s^2+2\alpha s+(\omega n)^2}$$ czy zostawić tak jak jest, wyliczyć deltę i pierwiastki i podstawić do obu składników różnicy?

Pozdrawiam.

Witam,
zapis jest prawidłowy, tylko tylko że dwa miejsca znaczące liczby (0,058), to dla obliczeń teoretycznych to zdecydowanie za mało (50 jest tu wartością dokładną), powinny być przynajmniej cztery miejsca znaczące.
Wyłączyć przed nawias mianownika nie wolno, ponieważ wtedy byłby to splot transformat (w liczniku pozostaje parametr s), więc po co sobie komplikować liczenie.
Proszę teraz (zapis dokładny) podstawić wartości liczbowe i zobaczyć co z tego wyniknie.
Proszę też zauważyć, iż liczniki transformaty obu składników sumy są różne, a więc i różne będą ich oryginały.

Pozdrawiam

Podstawiłem:

$$I(s)=1570,8\frac{1}{s^2+314,2s+24737,7}-1,83\frac{s}{s^2+314,2s+24737,7}$$

$$\Delta=b^2-4ac=98721,6-98950,9=-229,3$$

Nie wiem, czy delta powinna być tutaj ujemna, ale idąc dalej tym tropem:

$$\sqrt{\Delta}=j15,14$$

$$s1,2=\frac{-314,2\pm j15,14}{2}=-157,1\pm j7,57$$

Myślę, że coś tu nie gra. W notatkach nie mam nawet wzmianki o obliczaniu transformaty odwrotnej z liczby zespolonej.
Chyba, żeby funkcję zapisać w postaci kanonicznej? Albo jest gdzieś błąd, którego nie wychwyciłem przy sprawdzaniu...

Pozdrawiam.

Witam,
Kolego ogryz skąd te "herezje"?
Wartość wyróżnika Δ mianownika nie uległa zmianie i nadal wynosi zero.
Dowód:
założenia;
R =10Ω
L = R/ω =10Ω /(100•ΠHz)=0,1/ΠH
C = 4•L/R^2 =4•(R/ω)/R^2 = 4/(ω•R) = 4/(100•ΠHz•10Ω)=1/(250•Π)F
Mamy więc;
α = R/(2•L) =50•Π 1/s,
β² = 1/(L•C) =50²•Π²1/s², czyli
Δ = 2²•α² - 4•β²=2²•50²•Π²-4•50²•Π²=0, cnu

Wniosek; jest jeden pierwiastek podwójny:

$$\frac{1}{s^2+2\alpha s+\beta^2}$$ = $$\frac{1}{(s - s1,2)^2}$$, czyli;

s1,2 = (- 2•α ±0)/(2•1) = - α ==-50•Π 1/s.

Pozdrawiam

No to zaliczyłem wpadkę
Mój błąd polegał na tym, ze zamieniałem "Π" na jej wartość liczbową, co wprowadziło błędy do obliczeń i wyszły mi takie herezje.

Ciąg dalszy obliczeń:
Prąd w obwodzie:

$$I(s)=\frac{50}{L}\frac{1}{(s+\alpha)^2}-\frac{0,05825}{L}\frac{s}{(s+\alpha)^2}$$

Dla obu składników różnicy obliczam residuum dla s=-α:

$$resF(s)e^{st}=\frac{1}{2}\lim_{s\to-\alpha}\frac{d}{ds}\left(\frac{50}{L}\frac{e^{st}}{(s+\alpha)^2}(s+\alpha)^2\right)=\frac{25}{L}\lim_{s\to-\alpha}\frac{d}{ds}(e^{st})=\frac{25}{L}\lim_{s\to-\alpha}te^{st}=\frac{25}{L}te^{-\alpha t}$$

$$resF(s)e^{st}=\frac{1}{2}\lim_{s\to-\alpha}\frac{d}{ds}\left(\frac{0,05825}{L}\frac{se^{st}}{(s+\alpha)^2}(s+\alpha)^2\right)=\frac{1}{2}(-1,83)\lim_{s\to-\alpha}\frac{d}{ds}(se^{st})=-0,91\lim_{s\to-\alpha}(e^{st}+ste^{st})=-0,91(e^{-\alpha t}-\alpha te^{-\alpha t})$$

Na koniec obliczam oryginał funkcji, czyli prąd płynący w obwodzie (w zapisie czasowym):

$$i(t)=\frac{25}{L}te^{-\alpha t}+0,91(e^{-\alpha t}-\alpha te^{-\alpha t})$$

I to byłby koniec zadania.
Dziękuję bardzo koledze Quarz za cierpliwość i pomoc. Najważniejsze to zrozumieć zagadnienie i myślę, że to mi się udało.

Pozdrawiam i chylę czoła przed Twoją wiedzą

Witam,
toć to nic trudnego, jak będziesz przez lata obce dzieci (dorosłe) uczył TOE, to również nabierzesz odpowiedniej wprawy.
Wynik końcowy, niestety, ale nie jest prawidłowy.
Ponieważ jestem, jak każdy technokrata, leniwy z natury, więc "zapytałem" o to czy jest dobrze MathCADa i zobacz co wyszło ze sprawdzenia i na wykresie :



nie zgadza się dla t= 0, ani wartość prądu i(t = 0+) = i(t = 0-) - ciągłość prądu w induktorze - (powinno być: -1,83A), jak również znak jest odwrotny.
Gdzieś zrobiłeś błąd i musisz go sam poszukać...

Pozdrawiam

P.S. Podpowiem Tobie, byś nie szukał zbyt daleko. Transformata prądu I(s) jest policzona prawidłowo:

$$I(s)=\frac{50}{L}\frac{1}{(s+\alpha)^2}-\frac{0,05825}{L}\frac{s}{(s+\alpha)^2}$$

co sprawdziłem, kiedy z powyższego zapisu policzyłem sobie oryginał i(t). U mnie wszystko zgadza się.

W sumie to są dwa błędy.
1) Błąd znaku podczas liczenia sumy residuów. Powinno być:

$$i(t)=\frac{25}{L}te^{-\alpha t}-0,91(e^{-\alpha t}-\alpha te^{-\alpha t})$$

2) Policzyłem pochodną napięcia, obliczonego w pierwszej metodzie i wyszło mi, że mam błąd w pierwszym residuum. Powinno być:

$$-\frac{25}{L}\alpha e^{-\alpha t}$$

Problem w tym, że nie wiem co robię źle... Pasowałoby, gdyby policzyć tam pochodną po t zamiast po s, ale to bez sensu...

Pozdrawiam.

Witam,
postać równania i(t) jest teraz poprawna tyle tylko, że wynik jest dwa razy za mały, zobacz:



Poszukaj...

Pozdrawiam

Quarz napisał:

(...) wynik jest dwa razy za mały (...)

No jasne!

$$resF(s)e^{st}=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{s\to s0}\frac{d^{n-1}}{d^{n-1}s}\left(F(s)e^{st}(s-s0)^n\right)$$ (troszkę niewyraźnie ten latex rysuje)

Najprostsze błędy najtrudniej wychwycić
Ostateczna postać:

$$i(t)=\frac{50}{L}te^{-\alpha t}-1,83(e^{-\alpha t}-\alpha te^{-\alpha t})$$

No teraz już chyba będzie dobrze.

Pozdrawiam.

Witam,

ogryz napisał:

Quarz napisał:

(...) wynik jest dwa razy za mały (...)

No jasne!

$$resF(s)e^{st}=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{s\to s0}\frac{d^{n-1}}{d^{n-1}s}\left(F(s)(s-s0)e^{st}\right)$$ (troszkę niewyraźnie ten latex rysuje)

fakt, dlatego też nie bardzo lubię nim posługiwać się...
Ogólny wzór na "oryginał" dla funkcji o biegunach wielokrotnych jest prawie prawidłowy (w mianowniku różniczki powinno być $$ds^{n-1}$$), ale ten wzór łatwo jest znaleźć i nawet zapamiętać, tylko znacznie trudniej się tym praktycznie posługiwać.
Proponuję dla prostych przypadków "podpierać się" Tablicą Transformat Laplace'a, to ułatwia i podpowiada jednocześnie, a jeśli już konieczne jest formalne policzenie za pomocą Metody Residuł, to trzeba to liczyć, choć jest to liczenie dość żmudne.
Dla transformaty Laplace'a danej ułamkiem wymiernym (najczęszcza postać w TOE) i biegunach jednokrotnych łatwiej jest posługiwać się Twierdzeniami o Rozkładzie, lub (jeśli wolno mieć dostęp do Tablic Transformat) rozkładać ułamek wymierny (złożony) na sumę ułamków prostych (np. Metodą Współczynników Nieoznaczonych) i tak normalizować (przekształcać), by doprowadzić do postaci zapisu transformaty danej w Tablicy, pamiętając o liniowości przekształcenia (mnożenia przez stały czynnik).
Warto też pamiętać (i biegle nimi posługiwać się) o podstawowych Twierdzeniach Przekształcenia Laplace'a, czyli o transformatach funkcji;
- sumy,
- mnożonych przez stały czynnik,
- gdzie mnożeniu przez stały czynnik (większy od zera) poddana jest zmienna niezależna (skalowanie czasu),
- pochodnej (w tym wyższych rzędów),
- całki (w tym wielokrotnej),
- przesuniętej w czasie,
- mnożonej przez czynnik e^(-α•t), czyli przesunięciu transformaty o α,
- mnożeniu przez zmienną niezależną, czyli różniczkowaniu transformaty.

ogryz napisał:

Najprostsze błędy najtrudniej wychwycić

To prawda, dlatego też nie mogłem odebrać Tobie "przyjemności" ich znalezienia... a jaka satysfakcja z tego jest

ogryz napisał:

Ostateczna postać:

$$i(t)=\frac{50}{L}te^{-\alpha t}-1,83(e^{-\alpha t}-\alpha te^{-\alpha t})$$

No teraz już chyba będzie dobrze.

Finis coronat opus, ale jeszcze brakuje zapisu w którym powinny pozostać tylko liczby - współczynniki i zmienna niezależna, wszak to ma być do "używania", czyli zamiast L i α podstawione są wartości liczbowe, choć liczb niewymiernych zwyczajowo nie podstawia się (Π, e).

Dziękuję za miłą współpracę i życzę powodzenia w praktycznym korzystaniu z nabytej wiedzy.

Quarz

Niestety metoda residuów jest u nas metodą "zalecaną". Z innych metod korzystamy bardzo rzadko (zazwyczaj wtedy, gdy mamy do czynienia z funkcją skoku jednostkowego i deltą Diraca). Dlatego pozostaje zapamiętanie wzoru na residuum (bez błędów ) i mozolne ich liczenie...

Raz jeszcze dziękuję za pomoc. Na pewno Twoje wskazówki bardzo mi się przydadzą.

Pozdrawiam, Bartek.

Witam ponownie!
Okazało się, że w zadaniu są błędy i mam problem ze zlokalizowaniem jednego z nich, dlatego powracam do tematu.

ogryz napisał:

A więc tak (takiego zapisu ode mnie wymagają):

$$Uc(0+)=Ucu+Ucp=0+A1e^{-\alpha t}+A2te^{-\alpha t}$$

Uc(0-)=100sin(ωt+30)

Uc(0-)=Uc(0+)

$$100sin(\omega t+30)=A1e^{-\alpha t}+A2te^{-\alpha t}$$ |dla t=0

50=A1


$$Ic(0+)=Icu+Icp=0+[-\alpha A1e^{-\alpha t}+A2(e^{-\alpha t}-\alpha te^{-\alpha t})]$$

Ic(0-)=7,09sin(ωt-15)

Ic(0-)=Ic(0+)

$$7,09sin(\omega t-15)=[-\alpha A1e^{-\alpha t}+A2(e^{-\alpha t}-\alpha te^{-\alpha t})]$$ |dla t=0

-1,83=-αA1+A2 => A2=50α-1,83


No i wartość napięcia Uc(t):

$$Uc(t)=50e^{-\alpha t}+(50\alpha-1,83)te^{-\alpha t}$$

Tradycyjnie proszę o sprawdzenie poprawności i przy okazji pytanie: czy w celu skrócenia zapisu, zamiast alfy mogę podstawić jej wartość liczbową wyliczoną ze wzoru α=R/2L ?

Pozdrawiam.

W powyższym, błędnie wyliczony jest prąd (jako pochodna napięcia po czasie). Wyliczyłem go ze wzoru:

$$i=\frac{dUc}{dt}$$ zamiast $$i=C\frac{dUc}{dt}$$

Prawidłowy zapis:

$$Ic(0+)=Icu+Icp=0+C[-\alpha A1e^{-\alpha t}+A2(e^{-\alpha t}-\alpha te^{-\alpha t})]$$

Ic(0-)=7,09sin(ωt-15)

Ic(0-)=Ic(0+)

$$7,09sin(\omega t-15)=C[-\alpha A1e^{-\alpha t}+A2(e^{-\alpha t}-\alpha te^{-\alpha t})]$$ |dla t=0

-1,83=C(-αA1+A2) => $$A2=\alpha A1-\frac{1,83}{C}=8,17*250\pi$$

Prąd (po podstawieniu wszystkich wartości liczbowych i wymnożeniu nawiasów):

$$i(t)=-1,83e^{-\alpha t}-1283te^{-\alpha t}$$

Drugi błąd (błąd znaku jest również w metodzie operatorowej), gdyż wynik (również po podstawieniu i wymnożeniu nawiasów) wychodzi inny niż w metodzie klasycznej.
Kolega zasugerował mi zmianę biegunowości źródła napięcia przy pojemności, gdyż wtedy wynik wychodzi prawidłowy, lecz mnie się wydaje, że schemat jest ok.
Gdzie może tkwić błąd? Wychodzi na to, że pierwsze residuum powinno wyjść ujemne, co wskazywałoby na ten kondensator. A może w klasycznej jest jeszcze jeden błąd? Przeliczałem wszystko i wychodzi tak samo...

Pozdrawiam.

Witam,
Kolego, proszę przeanalizować sobie moje odpowiedzi z wykresami sporządzonymi w MathCADzie na podstawie widocznych tam równań, które zamieściłem tu wcześniej:
- dla równania napięcia na kondensatorze uC(t) ===> 13 Maj 2007 01:00
- prądu płynącego w obwodzie i(t) ===> 15 Maj 2007 23:35
Policzone tam (lub odczytane wprost z wykresu), przy okazji, warunki brzegowe są, co widać, poprawne, a więc i opisujące te przebiegi równania muszą również być poprawne.

Pozdrawiam

P.S. A tu moja "kuchnia" dla sprawdzenia współczynników liczbowych:
10•3,1459•50=1.57295000E+0003
-10•3,14159*0,05825=-1.829976175E+0000
10•3,159•(0,05825•50•3,14159)=2.890447368E+0002
1572,95-1,8299=1.5711201E+0003
... i chyba coś nie pasuje...

W sumie chyba za bardzo się tym przejąłem (stres przed egzaminem). Wystraszyły mnie różne wyniki przy obliczaniu prądu obiema metodami.
Fakt, faktem, wykresy nie kłamią.

Dziękuję i pozdrawiam.