rezonans napięć, przepiecie rezonasowe

Helpful post

#2 28 Mar 2008 07:10

Paweł Es. Paweł Es.

VIP Meritorious for electroda.pl

Helpful post #2 28 Mar 2008 07:10

ssamburski wrote:
Witam. Ostatnio na laborkach z fizyki mieliśmy rezonans szeregowy, prowadzący zapytał się mnie o co chodzi w tym rezonansie to mu odpowiedziałem: płynie największy prąd, bo napięcie na cewce i kondensatorze znoszą się. Prowadzący na to z przekorą ze to nie prawda ze mam poszukać coś więcej. Teraz tak myślę ze może chodzi właśnie o to przepięcie rezonansowe? Tylko o co w nim chodzi na czym polega?

Prąd w obwodzie szeregowym RLC:

$$\underline{I}=\frac{\underline{U}}{\underline{Z}}$$

Napięcia i prądy są jako wartości zespolone maksymalne ( te podkreślone).

Prąd przyjmuje wartość największą gdy moduł impedancji układu przyjmuje wartość najmniejszą.

$$\underline{Z}=R+j\omega L+\frac{1}{j\omega C}=R+j\omega L-j\frac{1}{\omega C}=R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})$$

$$j\cdot j=-1\ ->\ \frac{1}{j}=-j$$ (to z liczb zespolonych)

$$|Z|=\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}$$

Moduł impedancji przyjmuje minimum gdy

$$\omega L-\frac{1}{\omega C}=0$$ czyli gdy $$\omega L=\frac{1}{\omega C}$$

a to zachodzi dla częstotliwości (otrzymanej z rozwiązania powyższego równania):

$$f_r=\frac{1}{2\cdot\Pi\cdot\sqrt{L\cdot C}}$$

W każdej chwili w układzie jest spełnione równanie

$$U(t)=U_R(t)+U_L(t)+U_C(t)$$

$$U(t) $$- napięcie zasilania obwodu

$$U_L(t)$$ - napięcie na cewce
$$U_C(t)$$ - napięcie na kondensatorze
$$U_R(t)$$ - napiecie na rezystorze

Poszczególne napięcia wyrażają się wzorami:

$$\underline{U_L}=\underline{I}\cdot jX_L=\underline{U}\cdot \frac{j\omega L}{R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})}$$

$$\underline{U_R}=\underline{I}\cdot R=\underline{U}\cdot \frac{R}{R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})}$$

$$\underline{U_C}=\underline{I}\cdot jX_C=\underline{U}\cdot \frac{-j\cdot\frac{1}{\omega C}}{R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})}$$

W rezonansie poszczególne wyrażenia na napięcia przyjmują postać:

$$\underline{U_L}=\underline{I}\cdot jX_L=j\cdot \underline{U}\cdot\frac{\omega_r L}{R}$$

$$\underline{U_R}=\underline{I}\cdot R=\underline{U}\cdot\frac{R}{R}=\underline{U}$$

$$\underline{U_C}=\underline{I}\cdot jX_C=-j\cdot \underline{U}\cdot{\frac{1}{\omega_r R\cdot C}}$$

Widać z powyższego, że w REZONANSIE:

- napięcie na rezystancji jest równe napięciu zasilania i jest z nim w fazie

- napięcie na cewce wyprzedz napięcie zasilające o 90 stopni

- napięcie na kondensatorze jest opóźnione względem napięcia zasilającego o 90 stopni

- napięcie na cewce jest przesunięte względem napięcia na kondensatorze o 180 stopni i jest mu równe co do amplitudy (ze względu na równość Xc(fr)=XL(fr)

$$U_L(t)+U_C(t)=0$$ w każdej chwili czasowej, czyli suma geometryczna napięć na cewce i kondensatorze w rezonansie jest równa 0.

dobrocią układu oznaczaną literą Q, nazywamy stosunek modułu napięcia
na reaktancji (pojemnościowej lub indukcyjnej) dla częstotliwości rezonansowej do modułu napięcia na rezystancji

$$Q=\frac{|U_L|}{|U_R|}=\frac{\omega_r L}{R}=\frac{|U_C|}{|U_R|}=\frac{1}{\omega_r RC}$$

i jeżeli w obwodzie jest spełnione dla częstotliwości rezonansowej, że:

$$\omega_r L>R$$ (automatycznie wtedy też spełnione $$\frac{1}{\omega_r C}>R$$) to napięcie na reaktancjach jest wyższe niż napięcie zasilania.

Przebiegi napięcia na elementach układu o częstotliwości rezonansowej 1kHz (C=2.533uF, L=10mH) dla różnych wartości R

Układ jest zasilany napięciem o amplitudzie 1V i częstotliwości 1kHz.

V1_1 - to napięcie zasilające układ (pokrywa się z Ur, bo układ jest w rezonansie)

R=50Ω Q=1.26

R=10Ω Q=6.28

Quote:
Mam jeszcze jedno pytanie do pomiary napięcie na cewce był taki dziwny patent, równolegle do cewki podłączono szeregowo połączony mikro- amperomierza z dioda prostowniczą co to za paten o co tu chodzi?

Mikroamperomierz (a raczej chyba woltomierz skoro badaliście rezonans szeregowy) nie mierzy prądu przemiennego tylko prąd stały. Dla prądu przemiennego trzeba mu dodać prostownik jedno- lub dwupołówkowy.