Jak obliczyć napięcie U0 na R0 w obwodzie Thevenina/Nortona?

Question

Witam
Od kilku godzin próbuję ruszyć zadanie z Teorii obwodów
ale bezskutecznie. Będę wdzięczny za pomoc w rozwiązaniu.

Treść:
W obwodzie przedstawionym na rys. wyznaczyć napięcie U0
na oporze R0, korzystając z twierdzenia Thevenina lub Nortona.
Dane: E=80V, R1=R2=R0=10kOhm, R3=20kOhm, g=0,1mS.
Odpowiedź: U0 = -10V.

<img src="https://obrazki.elektroda.pl/4_1208646822.jpg">

Edit:
Źródło po lewej to oczywiście E z treści.

Quarz · Answer

Ale tu nie ma co liczyć... ... tylko trza wiedzieć jak, ponieważ w obwodzie jest źródło sterowane (źródło prądu; g•U2, sterowane napięciem; U2). Wobec tego, nie wolno postępować wg znanej sztampy zwierania źródeł napięciowych i rozwierania źródeł prądowych przy wyznaczaniu rezystancji zastępczej (wewnętrznej) Rw dla tego obwodu ! ! ! Wartość tej rezystancji należy zawsze w takim przypadku wyznaczyć (jak to wynika ze schematu zastępczego Thevenena, czy Nortona) z ilorazu napięcia biegu jałowego Uj do prądu zwarcia Iz, czyli; Rw = Uj/Iz, dla wybranej pary zacisków dla której parametry tego schematu zastępczego są wyznaczane. Zobacz, np. TAM. To tyle ode mnie podpowiedzi, dalej pokaż tu najpierw coś sam zrobił - patrz Regulamin pkt. 16.

Paweł Es. · Answer

Z tym zwieraniem i rozwieraniem źródeł to dotyczy chyba tylko tych autonomicznych, bo te sterowane muszą zostać bo zmieniają rozpływ prądów czy rozkład napięć w obwodzie.

W powyższym obwodzie przy wyznaczaniu rezystancji wewnętrznej źródła zastępczego (widzianej z zacisków obciążenia) zastępujemy zwarciem źródło napięciowe E ale pozostawiamy źródło sterowane.

Quarz · Answer

Chybanie i gdybanie jest dobre, ale w dyskusji np. o D. Marynii (której nikt nie widział...) lecz nie w TOE, Panie Kolego Paweł Es.. To jest postępowanie, w obwodzie ze źródłami sterowanymi, błędne. I co dalej? Patrz wyżej... Proszę, mówiąc oględnie, nie pisać głupot

grzybonol · Answer

Mógłbym z chęcią wrzucić to co napisałem ale było tego kilkanaście stron A4, za każdym razem inna metoda, zawsze inny wynik. Liczyłem na rozwiązanie, ponieważ mam już dość patrzenia się na ten obwód. Proszę nie traktować mnie jak lenia - NAJPIERW poświęciłem 6 godzin, potem poprosiłem znajomych, teraz piszę na forum. Pozdrawiam Piotrek

creaton · Answer

Widzę, że korzystamy z tego samego zbioru zadań. Ja również mam problem z tym zadankiem.

Ja zacząłem to robić tak, że korzystając z zamiany źródeł zamieniłem E na J=E/R1, następnie dodałem równolegle R1, R2 i znowu zamieniłem źródło J na E=J(R1||R2).
Teraz nasuwają mi się wątpliwości czy mogę tak zrobić, skoro potrzebne jest mi U2, a zmiana oporu może zmienić to napięcie. No więc, nie wiem, wydaje mi się, że tak można (coś podobnego było pokazane na wykładzie).

Tworzę źródło zastępcze thevenina:
I tu się pojawia dla mnie problem, bo nie rozumiem do końca istoty tego przebiegu. Według tego, co mi wmawiano na wykładzie to do zacisków AB doprowadzam prąd I=0.
Za pomocą tego obliczyłem sobie U2 = (R1||R2)(I - J) = (R1||R2)(I - gU2).
Z tego $$U_2 = \frac{R_{12}I}{(1 + gR_{12})}$$

Teraz, usuwam źródło E. Liczę $$R_t$$
$$U_{AB} = \frac{RI}{1 + gR_{12}}$$ gdzie R = (R3 + (R1||R2)

$$R_t = \frac{U_{AB}}{I} $$

I teraz nie wiem jak wyznaczyć $$E_t$$, to jest suma spadków napięć w obwodzie?

Quarz · Answer

To jest błędny zapis... coś zgubiłeś po drodze przy wyznaczaniu wartości napięcie U2 na biegu jałowym Jak widać bzdety, patrz wyżej, skoro nie wiesz co dalej. Podpowiedzi już udzieliłem tam: Wysłany: 20 Kwi 2008 02:06 Temat postu: Re: Thevenin/Norton - problem z zadaniem i nie widzę powodu bym miał się powtarzać.

creaton · Answer

Hm chodzi o to, że najpierw robiłem sumę oporów a później a we wzorze jest tylko R2? Jeśli tak, to po prostu źle napisałem, zaraz poprawię. W moich obliczeniach jednak uwzględniałem to połączenie.

Co do dalszej części. Jeśli bzdety, to jak mam to wykonać? Twoja podpowiedź nie wiele mi mówi.

Paweł Es. · Answer

Chodziło mi o takie działania:

Uwaga ogólna: przy zwijaniu fragmentów obwodów węzły, z których zbieramy napięcia sterujące i gałęzie z prądami sterującymi nie mogą być wchłonięte przez inne obwody.

Jeżeli źródło napięciowe jest sterowane źródłem autonomicznym, napięciowym które zastępujemy zwarciem, to i źródło sterowanie czyni zwarcie na swoich zaciskach (U=0).

Jeżeli źródło prądowe zależy tylko od prądu źródła autonomicznego to wyłączenie z obwodu (przerwa) źródła sterujacego wyłącza też prąd źródła sterowanego.

Podobnie ma się na krzyż: w źródłach prądowych sterowanych napięciem i napięciowych sterowanych prądem - dają one odpowiednio przerwę i zwarcie jeżeli odpowiednie napięcie lub prąd są zerowane dla potrzeb obliczeniowych.

Układ rozwarty, liczymy napięcie Ez bez obciążenia R0:

Zamiana źródła napięciowego na prądowe:

$$Iz=\frac{E}{R_1}$$

Powyższe źródło jest włączone równolegle do rezystancji:

$$R_z=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}$$

Obliczamy napięcie U2, przez Rz płynie różnica prądu Iz i prądu źródła sterowanego:

$$U_2=(I_z-g\cdot U_2)\cdot R_z=I_z\cdot R_z-g\cdot U_2\cdot R_z=E\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}-g\cdot U_2\cdot R_1\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}$$

$$U_2\cdot (1+g*\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2})=E\cdot \frac{R_2}{R_1+R_2}$$

$$U_2\cdot (R_1+R_2+g\cdot R_1\cdot R_2)=E\cdot R_2$$

$$U_2=E\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2+g\cdot R_1\cdot R_2}$$

Napięcie wyjściowe liczymy ze wzoru:

$$E_z=U_2-g\cdot U_2\cdot R_3=U_2\cdot (1-g\cdot R_3)$$

Po podstawieniu wzoru na U2 do wzoru na Ez, otrzymujemy:

$$E_z=E\cdot\frac{R2\cdot (1-g\cdot R_3)}{(R_1+R_2+g\cdot R_1\cdot R_2)}=80V*\frac{10000\Omega\cdot(1-0.0001S\cdot 20000\Omega)}{10000\Omega+10000\Omega+0.0001S*10000\Omega\cdot 10000\Omega}=-\frac{80}{3}\ V$$

Rezystancja zastępcza źródła (widziana z zacisków R0)

Zastępujemy E zwarciem i zasilamy sobie nasz układ źródłowy, myślowo napięciem U z zacisków R0 (czyli w miejsce R0, które odłączamy, włączamy źródło napięciowe U i liczymy prąd z niego wypływający):

Prąd wpływający do zacisków (R0) pod wpływem napięcia U:

$$I=g\cdot U2+\frac{U}{R3+\frac{R1*R2}{R1+R2}}=g*U_2+U*\frac{R1+R2}{R3*(R1+R2)+R1*R2}$$

$$U2=U*\frac{R1||R2}{R1||R2+R3}=U*\frac{R1*R2}{R1*R2+R3*(R1+R2)}$$

Czyli prąd I wyraża się wzorem:

$$I=U*\frac{g*R1*R2}{R1*R2+R3*(R1+R2)}+U*\frac{R1+R2}{R1*R2+R3*(R1+R2)}=U*\frac{g*R1*R2+R1+R2}{R1*R2+R3*(R1+R2)}$$

Rezystancja wewnętrzna źródła zastępczego wyraża się wzorem:

$$Rw=\frac{U}{I}=\frac{R1*R2+R3*(R1+R2)}{g*R1*R2+R1+R2}=\frac{10000\Omega\cdot 10000\Omega+20000\Omega*(10000\Omega+10000\Omega)}{0.0001S\cdot 10000\Omega\cdot 10000\Omega+10000\Omega+10000\Omega}=\frac{50000}{3}\ \Omega$$

Mamy więc parametry napięciowego źródła zastępczego i obliczamy napięcie U0:

$$U0=Ez\cdot\frac{R0}{Rw+R0}=-\frac{80}{3}\cdot\frac{10000\Omega}{\frac{50000}{3}\Omega+10000\Omega}=-\frac{80}{3}\cdot\frac{30000\Omega}{80000\Omega}=-10\ V$$

No i teraz nie wiem, czy złamałem gdzieś Prawa Elektrotechniki czy to zadanie to jakiś wyjątek tylko przypadkowo dający się policzyć tą metodą ?

Kolego Quarz proszę o opinię, tylko merytoryczną i spokojną.

Quarz · Answer

Zupełnie zbyteczne i skomplikowane postępowanie, które na dodatek często prowadzi na manowce, a stosowalność jego jest możliwa tylko na papierze i dla obwodów z determinowanym schematem ideowym. Dla obliczeń parametrów źródła zastępczego w programach symulacyjnych przeważnie już ten sposób nie nadaje się, a kiedy są tam jeszcze czarne skrzynki (czyt. n-wrotniki) to już zupełnie nic nie można zrobić. Dlatego też neguję i tępię rzemieślnicze metody, których przydatność dla szerokiego zakresu zastosowania jest ograniczona - choć wynikają one z twierdzeń o źródłach zastępczych i dla prostych obwodów przynoszą poprawne wyniki, ale należy mieć świadomość ich ograniczeń a o nakładzie pracy przy liczeniu już lepiej nie wspominać... Przecież wystarczy znać i pamiętać wnioski jakie wypływają z własności źródeł zastępczych wyznaczonych na podstawie twierdzeń Thevenena i Nortona, pisałem o tym TAM, tu jeszcze raz to podam w skondensowanej formie. Zastosowanie tych własności i wniosków jest prawdziwe dla każdego obwodu liniowego - również i rzeczywistego i choć w nim najczęściej nie możemy dokonać werbalnego zwarcia wybranej pary zacisków, to parametry źródła zastępczego (dla w/w twierdzeń) w sposób pomiarowy również możemy wyznaczyć, ale to już materiał na inny temat. Niech dla źródła zastępczego wynikającego z tw. Thevenena będą parametry: ET - wartość napięcia idealnego źródła napięcia, RT - wartość rezystancji wewnętrznej tego źródła. Podobnie dla źródła zastępczego wynikającego z tw. Nortona niech będą parametry: JN - wartość wydajności prądowej idealnego źródła prądu, GN - wartość konduktancji wewnętrznej tego źródła. Oczywiście z pary zacisków zewnętrznych danego źródła zastępczego dla tw. Thevenena jest to połączenie szeregowe: ET i RT, oraz dla tw. Nortona połączenie równoległe: JN i GN. Dla każego z tych źródeł zastępczych można wyróżnić dwa krańcowe stany pracy: - stan biegu jałowego dla którego wartość napięcia pomiędzy parą zacisków wyjściowych wynosi Uj, oraz - stan zwarcia pary zacisków wyjściowych pomiędzy którymi płynie prąd Iz. Tak więc dla źródła zastępczego szeregowego będzie: UjT = ET oraz; IzT = ET/RT. Podobnie dla źródła zastępczego równoległego będzie: UjN = JN/GN oraz; IzN = JN. Kiedy natomiast zażądamy by te dwa schematy zastępcze były pomiędzy sobą równoważne pod względem wartości ich parametrów, to muszą być spełnionie równości: UjT = UjN, czyli; ET = JN/GN, oraz; IZT = IzN, czyli; JN = ET/RT, poprzez podzielenie krzyżowe stronami ostatnich prawych równości mamy trzeci (i ostatni) warunek: RT = 1/GN, lub GN = 1/RT. Nietrudno jest zauważyć, iż iloraz napięcia biegu jałowego przez prąd zwarcia dla obu schematów zastępczych zawsze daje w wyniku wartość rezystancji wewnętrznej danego źródła, mamy przecież: UjT/IzT = ET/(ET/RT) = RT, oraz; UjN/IzN = (JN/GN)/JN = 1/GN. Z powyższego faktu należy zrobić właściwy użytek przy wyznaczaniu wartości parametrów schematu zastępczego, a wynikających z twierdzeń o źródłach zastępczych i niekoniecznie kiedy mamy do czynienia z obwodem w którym są źródła sterowane, ale również dla obwodów w którym są tylko źródła autonomiczne. Jedyną koniecznością dołączenia do zacisków dwójnika, którego rezystancję wewnętrzną chcemy wyznaczyć, pomocniczego i idealnego źródła jest sytuacja kiedy ten dwójnik jest dwójnikiem biernym (również ze źródłami sterowanymi), ale to przecież prowadzi do Metody Technicznej pomiaru rezystancji... Teraz obliczenia, jako przykład wg powyższych zasad, dla obwodu podanego przez autora tematu (choć, ja tak uważam, wyrządzam Mu tym niedźwiedzią przysługę...; jak sam do tego dojdzie, to zapamięta, a jak przepisze to jutro zapomni...). Najpierw stan biegu jałowego, dla którego napięcie sterujące źródło sterowane oznaczę przez U2j. Najwłaściwszą Metodą jest MPW (Metoda Potencjałów Węzłowych, tu jej pochodna dla jednego niezależnego węzła w obwodzie, czyli Metoda Napięcia Międzywęzłowego) - wystarczy napisać jedno równanie by wyznaczyć wartość napięcia U2j na rezystorze R2: U2j•(1/R1 +1/R2) = E/R1 - g•U2j, (1), natomiast wartość napięcia biegu jałowego U0j na zaciskach wyjściowych wynosi: U0j = U2j - g•U2j•R3 (2). Równanie (1) po uporządkowaniu przyjmie postać: U0j = ET = E/(1 + R/R2 + R1•g), (3). Podstawienie danych wartości do tego zadania i wyliczenie daje wynik: U2j =80/3V, oraz wartość napięcia wyjściowego biegu jałowego: U0j = ET =-80/3V. Tu, dla stanu zwarcia, dla wybranej pary zacisków, najdogodniejszą jest MPO (Metoda Prądów Oczkowych) (choć i tu użycie MPW - ale schemat obwodu jest już inny - też jest możliwe i również będzie to tylko jedno równanie). Z topologii tego obwodu wynikają dwa niezależnego oczka plus zwarte oczko sterowanego źródła prądowego. Niech kierunki prądów oczkowych I11 i I22 są skierowane w prawo, oraz pierwszy prąd oczkowych jest związany z gałęzią w której jest źródło E, mamy wtedy następujące równania: I11•(R1 + R2) - I22•R2 = E, (4), - I11•R2 + I22•(R2 + R3) = 0, (5), oraz wyrażenie na wartość prądu zwarcia: I0z = I22 - g•U2z, (6), gdzie; U2z = (I11 - I22)•R2, (7). Układ równań (4) i (5) najwygodniej jest rozwiązać Metodą Wzorów Cramera (wyznaczników), mamy wtedy wyznacznik główny (już wymnożony): Δ= (R1 + R2)•(R2 + R3) - (-R2)•(-R2), (8 ), oraz pozostałe dwa wyznaczniki (również wymnożone): Δ11 = E•(R2 + R3) - 0•(-R2), (9), Δ22 = (R1 + R2)•0 - (-R2)•E, (10). Wyliczenie powyższych wyznaczników daje wartości: Δ=5•10^8Ω², (8a), Δ11=24•10^5Ω•V, (9a), Δ22=8•10^5Ω•V, (10a). Wartości prądów oczkowych wynoszą: I11 = Δ11/Δ =24•10^5Ω•V/5•10^8Ω²=(24/5)•10^(-3)A=4,8mA, I22 =Δ22/Δ =8•10^5Ω•V/5•10^8Ω²=(8/5)•10^(-3)A=1,6mA. A wartość napięcia sterującego wyniesie; U2z = (I11 - I22)•R2 =32V, (7a), oraz wartość prądu zwarcia; I0z = I22 - g•U2Z =-1,6mA, (6a). Wyliczamy wartość rezystancji wewnętrznej RT; RT = U0j/I0z =(-80/3V)/(-1,6mA)=50000/3Ω. Wobec tego wartość napięcia U0 na rezystorze R0 wynosi: U0 = ET•(R0/(RT + R0)) =(-80/3)V•(10000Ω/(50000/3Ω+10000Ω))=(-80/3)V•(3/(5+3))=-10V. Patrz wyżej... i proszę odpowiedzieć sobie samemu... rozwiązanie tamto jest zbyt, jak dla mnie, zawiłe bym sobie swoje szare komórki niszczył... Jak wycisnąć wodę z części obliczeniowej - moje opisy - to całe moje rozwiązanie, ze wszystkimi obliczeniami, zmieści się na dwóch stronach kartki papieru formatu A-5. Dlatego też zawsze kładę nacisk na wybór najoptymalniejszego sposobu rozwiązania, czyli zrobić dobrze a przy tym nie napracować się... Wtedy na wszelkiego rodzaju sprawdzianach, czy egzaminach, jest dosteteczna ilość czasu by dane zadania spokojnie rozwiązać. Ale jak powiadają sąsiedzi zza Odry: Übung macht den Meister , tyle tylko, że trzeba jeszcze dobrze wiedzieć co ćwiczyć i jak ćwiczyć... ale to już odrębne zagadnienie. A tak OffTopic, zadanie to najłatwiej jest rozwiązać stosując dla całego obwodu MPW, mamy wtedy dwa niezależne węzły i wartość potencjału węzła prawego (względem węzła odniesia) jest wartością poszukiwanego napięcia na R0, natomiast wartość potencjału na R2 jest wartością napięcia sterującego źródło sterowane, nic bardziej pasownego. Mamy dwa równania wyjściowe na MPW, które po uporządkowaniu wyglądają tak: U2•(1/R1 + 1/R2 + 1/R3) - U0•(1/R3) = E/R1, -U2•(1/R3 - g) + U0•(1/R3 + 1/R0) = 0. Co pozostawiam dla sprawdzenia autorowi tego tematu...

Paweł Es. · Answer

Hmm, wydaje mi się, że akurat do tego konkretnego układu, metoda "rzemieślnicza" jest mniej złożona, odpada liczenie wyznaczników (na czym z braku wprawy i nerwów na sprawdzianie można się boleśnie potknąć). Oczywiście zgadzam się, że nie nadaje się ona do zautomatyzowania (takie Spice, NAP czy Optima, stosują metodę ZMPW do tworzenia macierzy opisującej obwody).

A propos Thevenina to okazuje się, że to był Francuz i trzeba go pisać przez "i" a nie "e" w nazwisku i pewnie wymawiać z francuska

$$L \dot{e} on\ Charles\ Th\dot{e}venin$$ (Leą Szarl Tevnę )

{O, przy okazji wyszło, że Latex ma błedy akcenty acute i grave, nie są wyświetlane - poprawnie te akcenty nad e w nazwisku powinny być pociągnięte w prawo. !!!!}

http://en.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9venin

Tkwiłem lata w nieswiadomości (ale to pewnie przez to, że u nas się rzadko na wykładach podaje krótki wsad historyczny na temat pochodzenia odkrywcy czy wynalazcy i poprawnej pisowni jego nazwiska.

A tu ciekawy kawałek historii powstawania teorii obwodów z powołaniem się na pełne nazwiska, imiona i lata

http://tcts.fpms.ac.be/cours/1005-01/equiv.pdf

Mariusz Ch. · Answer

Witam Kolegów.

Zastanawiam się nad sensem sporu o wybór optymalnej metody. Moim zdaniem optymalną metodą jest ta, która daje poprawny wynik w najkrótszym czasie. W przypadku, gdy treść zadania nie narzuca sposobu rozwiązania, mamy pełną swobodę. Do obliczenia objętości kuli możemy zastosować wzór lub skorzystać z całki objętościowej. Wynik możemy mieć w przybliżonym czasie. Jak ocenić optymalność metody?

Dzisiaj mamy piękną pogodę, więc życzę Miłego Dnia.
Mariusz.

Quarz · Answer

Na takie dictum ta ja nie mam więcej argumentów... :o ... skoro lepsze ma być przekształcanie tasiemcowego wzoru... Ręce opadają, a na innym Forum pewnej Pani - cycki... Z punktu widzenia algorytmu obliczeń to najlepszy jest taki wzór w którym dana wielkość reprezentująca dany parametr obwodu występuje minimalną ilość razy. Dlatego też np. zamiast podawać wzór na rezystancję zastępczą Rz połączenia równoległego dwóch rezystorów o rezystancjach R1 i R2 w postaci: Rz = R1•R2/(R1 + R2), zawsze wolę ten: Rz = 1/(1/R1 + 1/R2). Przy obliczeniu wartości za pomocą jakiegokolwiek liczyka - pomocnika, ilość operacji wprowadzania danych dla ostatniego zapisu jest mniejsza. A kto śmie twierdzić inaczej to jest zwyczajny [tu ze względu Regulamin nie napiszę tego słowa, ale znakomitej większości studentów i byłych studentów jest to określenie dobrze znane...] I to było było na tyle - jak mawiał Śp. Profesor Mniemanologii Stosowanej... - w ramach repliki.

Jak obliczyć napięcie U0 na R0 w obwodzie Thevenina/Nortona?

Post #1

Post #2

Post #3

Post #4

Post #5

Post #6

Post #7

Post #8

Post #9

Post #10

Post #11

Post #12

Post #13

Podsumowanie tematu