Interpretacja geometryczna całki – jak ją zrozumieć i wyjaśnić na ćwiczeniach z fizyki?

na cwiczenia z fizyki kobieta mi zadała do zreferowania temat "interpretacja geonetryczna całki". jestem po technikum, gdzie poziom byl ciut niski i teraz jestem blady. przejzalem google i nadal nie wiem jak sie do tego zabrac.... ma ktos jakies materialy? jesli tak to poprosze na meil lub PW.....

Post był raportowany.
Popraw błędy i interpunkcję. Użyj przycisku PISOWNIA --> REGULAMIN. [hefid]

Witam,
pytanie zasadnicze, ponieważ nic na ten temat nie napisałeś, a jest to bardzo istotne: jaka to jest całka nieoznaczona, czy oznaczona?
Przyjmuję, oczywiście, iż jest tu mowa o całce funkcji jednej zmiennej (całce pojedyńczej).

Pozdrawiam

wiem tyle samo co ty..... i tu tkwi moj problem. pewnie chodzi o to "łatwiejsze" lub "bardziej podstawowe"......

włuczykij napisał:

wiem tyle samo co ty..... i tu tkwi moj problem. pewnie chodzi o to "łatwiejsze" lub "bardziej podstawowe"......

ojj... chyba jednak jesteś w wielkim błędzie, ponieważ ten dział matematyki dla mnie nie stanowi żadnych tajemnic, a czego nie można powiedzieć o Twojej wiedzy w tej materii.
Jednak na to bym z tego forum robił salę wykładową to możesz nie liczyć...

Pozdrawiam

Quarz jak dla mnie posty typu " uznaj to za zadanie z gwiazdka" albo " poczytaj sobie" sa bezensowne... po to czlowiek pisze post aby ktos mu mogl. z pewnoscia nie liczy na tego typu odpowiedzi.... JEZELI NIE MASZ ZAMIARU UDZIELIC POMOCY TO NIE PISZ NIC!!!!!!!!!! a nie bezensownie zasmiecasz tylko forum

A autor tego tematu zamiast "balować" i szukać jelenia który to za niego zrobi powinien przysiąść 4litery i zrobić to co ma do zrobienia z chyba najprostrzymi całkami w całym rachunku całkowym. Również na necie jest dużo miejsc, gdzie można znaleźć potrzebne informacje, tylko trzeba umieć i najważniejsze chcieć szukać (w domyśle uczyć się) a nie liczyć tylko na frajera. Pewno zaraz się dowiemy, że to wcale nie dla niego są potrzebne te informacje, tylko dla kolegi brata szwagra, któremu akurat odcięło internet i biedny nie może nic się nauczyć. Bo niestety coraz częściej pojawiają się na Elektrodzie takie tłumaczenia własnej indolencji albo lenistwa.

Pozdrawiam wszystkich

jjanek

Czy całka nieoznaczona ma interpretację geometryczną ??? O ile wiem to nie ma.

Całka nieoznaczona jest zbiorem funkcji pierwotnych funkcji podcałkowej różniących się o stałą C

$$\int{f(x)dx}=F(x)+C$$

gdzie C - stała całkowania

jednocześnie f(x)=F'(x) (f(x) jest pochodną funkcji pierwotnej F(x) )


Przykład

$$\int{x^2dx}=\frac{1}{3}x^3+C$$ bo $$\frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3) =x^2$$

Całka oznaczona

Całka oznaczona z funkcji ciągłej f(x) w przedziale <a,b> zapisywana:

$$\int_a^b{f(x)}dx$$ jest liczbą odpowiadającą polu figury ograniczonej (to jest właśnie interpretacja geometryczna całki oznaczonej)

- z góry (dołu) wykresem funkcji f(x)
- z dołu (góry) osią 0
- z lewej prostą x=a - lewa granica całkowania
- z prawej prostą x=b - prawa granica całkowania



Wzór ogólny:

Jeżeli F(x) jest jakąkolwiek (bo funkcji tych jest nieskończenie wiele różniących się o stałą C) funkcją pierwotną funkcji ciągłej f(x) w przedziale <a,b>

to

$$\int_a^b{f(x)}dx=F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b$$ - wzór Newtona Leibniza


Przykład

Liczymy pole figury ograniczonej z góry funkcją f(x)=x+3 w przedziale
<2,3>

$$F(x)=\frac{1}{2}x^2+3x$$

$$_2\int^3{(x+3)}dx=\frac{1}{2}*(3)^2+3*3-(\frac{1}{2}*(2)^2+3*2)=4.5+9-2-6=4.5+1=5.5$$


Sprawdzenie, figura ograniczona prostymi x=2, x=3, wykresem x+3 i osią 0 jest trapezem o parametrach:

wysokość h =3-2=1
podstawa a=2+3=5 (leżąca na prostej x=2)
podstawa b=3+3=6 (leżąca na prostej x=3)

Pole trapezu $$S=\frac{1}{2}(a+b)*h=0.5*(5+6)*1=5.5$$

Czyli tak jak wyszło z liczonej całki.

Przykładowe inne zastosowania całki oznaczonej:

$$\int_a^b{|f(x)|}dx$$ - pole pod wykresem f(x), jeżeli nie ma modułu to pole może być dodatnie lub ujemne

$$\int_a^b{\sqr{1+\[g(x)\]^2}}$$ - długość łuku (wykresu) funkcji f(x)

gdzie g(x)=f'(x) ( f(x) i g(x) muszą być ciągłe w przedziale <a,b>)

$$W=\int_a^b{f(x))}dx$$ - praca na drodze od a do b, f(x) - siła działająca wzdłuż osi x

$$V=\pi\int_a^b{f(x)^2}dx$$ - objętość bryły obrotowej powstałej przez obrócenie wykresu f(x) w stałej odległości od osi x (powstaje coś na kształt wazonu o fikuśnym wyglądzie wynikającym z przebiegu funkcji f(x) w przedziale <a,b>

$$S=2\pi\int_a^b{f(x)\sqr{\[1+g(x)^2\]}}dx$$ - powierzchnia boczna powyższego "wazonu", g(x)=f'(x)


Samo liczenie funkcji pierwotnej może być czasami trudne (ze względu na jej złożoność) lub niemożliwe, bo funkcja pierwotna w postaci analitycznej nieistnieje, np.

$$\int{e^x^2}$$ nie istnieje w postaci analitycznej

Funkcje pierwotne wyznacza się z różnych wzorów pomocniczych zależnie od typu funkcji podcałkowej (rozwiązanie dobre dla prostych funkcji) lub korzysta się z gotowych tablic całek, by nie wyważać po raz n-ty otwartych już drzwi

W szczególnie złożonych przypadkach można liczyć przybliżone wartości całki oznaczonej, przez podział obszaru całkowania na całkowitą ilość prostokątów o statałej szerokości h=(b-a)/n i wysokości f(a+k*h) (k od 0 do n) i zsumowanie ich powierzchni. Dalsze przybliżenia polegają na większym dopasowaniu górnego brzegu paska do kształtu funkcji (linią prostą- budujemy trapezy, lub wielomianem)
Granica powyższej sumy przy n dążącym do nieskończoności jest właśnie całką oznaczoną z f(x).


To tyle w skrócie (bo rachunek całkowy jest dość rozbudowanym działem matematyki) a tu tylko była mowa o całkach pojedyńczych

(tu są dodatkowe wyjaśnienia)
http://www.math.us.edu.pl/prace/dszczerek/1.html

zadała mi to kobieta na ćwiczenia z fizyki. dlaczego to nie wiem. tak wzięła 5 pierwszych osób z listy i kazała nam to zrobić. dzięki wielkie dla kolegi Paweł Es. zaraz to drukne i zacznę rozpracowywać;] pozdrawiam.