Minimalna częstotliwość próbkowania i podobne :)

Question

Hej, nie działa mi wyszukiwarka więc sorki, jeśli ten temat byl wielokrotnie. Mam kilka zadanek, jedne jakoś udało mi sie zrobić, ale z dwoma mam problem: Wyznacz minimalną częstotliwość próbkowania dla sygnału: x = 50 sin (80 pi t) + 10 cos (90 pi t + pi/3) Sygnał składa się z sinusoidy o...

Paweł Es. · Accepted Answer

Cosinus możesz zawsze sprowadzić do sinusa przez stałe przesunięcie fazy więc nie ma to wpływu na całość, tylko składowa przy t jest brana pod uwagę, czyli fpmin>=2*fmax

cyberjarek · Answer

Dzięki wielkie za info, czyli rozumowałem w dobrą stronę. Jeszcze tylko męczy mnie to drugie zadanko...

electronictubes · Answer

Ad.1 Suma sinusa i kosinusa o dwu różnych ω1 i ω2 da w wyniku zniekształcony sygnał m.in zawierający ω1 + ω2 a więc będzie to 40+45 Hz, czyli 85 Hz, próbkowanie musi mieć f=170Hz. Ad.2 ten sygnał x = 50 sin (40 pi t) będzie rozróżnialny w stosunku do sygnałów poniżej x = 50 sin (45 pi t). Sygnały powyżej x = 50 sin (45 pi t) już nie będą rozróżnialne ale miedzy sobą a nie w stosunku do x = 50 sin (40 pi t), który jest spróbkowany właściwie. Teraz powstaje pytanie jaki z niewłaściwie spróbkowanych sygnałów da x = 50 sin (40 pi t), wydaje się, że najbardziej prawdopodobna odpowiedź brzmi harmoniczny x = 50 sin (n*40 pi t), .

qrdel · Answer

Bardzo ciekawe, sin (n*40 pi t) czyli rozwiązanie nie zależy od częstotliwości próbkowania.

moim zdaniem
fmax=22.5Hz
fsignal = 20Hz
i nieodróżnialny będzie sygnał o częstotliwości 2*n*fmax+fsignal
czyli 65, 110, 155, 200 ... Hz
np. 50 sin(2*pi*65*t)
podobnie z
f=(2*n-1)*fmax-fsignal, ale chyba należałoby zmienić fazę (-sin)
warunek jest taki że wartości próbek winny być identyczne, po prostu sprawdź (jest to polecenie zadawane uczniom za karę)

to było o harmonicznym,
możesz zawsze dodać dowolny sygnał okresowy o okresie 45Hz który ma zera w momencie próbkowania. Albo i nieokresowy byle miał co 1/45 sekundy wartość 0 we odpowiednim momencie.

Co do pierwszego mam niejakie wątpliwości, ale nie mam teraz czasu na rozmyślania.
co do pierwszego

Paweł Es. · Answer

Kolega 2 piętra wyżej wymyślił liniowy prawie podwajacz częstotliwości

liniowe dodawanie sygnałów sinusoidalnych nie wytwarza składowych o innych częstotliwościach. Gdyby tak było to audiofile by się zapłakali słysząc produkty sum składowych sinusoidalnych sygnałów muzycznych

To dopiero nieliniowości powodują pojawianie się nieistniejących w sygnale oryginalnym składowych ...

:

Wyznacz minimalną częstotliwość próbkowania dla sygnału:
x = 50 sin (80 pi t) + 10 cos (90 pi t + pi/3)

sygnał mamy w postaci:

f(t)=A*sin(ω1*t)+B*cos(ω2*t+φ)

używając wzoru redukcyjnego:

cos(α)=sin(Π/2+α)

mamy

f(t)=A*sin(ω1*t)+B*sin(ω2*t+φ+Π/2)

podstawiamy sobie

x=ω1*t
y=ω2*t+φ+Π/2

f(t)=A*sin(x)+B*sin(y)

stosujemy podstawienie

x=α+β i y=α-β

gdzie:

α=0.5(x+y) β=0.5(x-y)

f(t)=A*sin(α+β)+B*sin(α-β)

używając tożsamości:

sin(α+β)=sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

sin(α-β)=sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)

mamy:

f(t)=A*sin(α)cos(β) + A*cos(α)sin(β)+B*sin(α)cos(β) - B*cos(α)sin(β)

f(t)=(A+B)*sin(α)cos(β)+(A-B)*cos(α)sin(β)

powracając do oryginalnych oznaczeń:

f(t)=(A+B)*sin(0.5*(x+y))cos(0.5(x-y))+(A-B)*cos(0.5(x+y))sin(0.5(x-y))

x=ω1*t
y=ω2*t+φ+Π/2
φ=Π/3

f(t)=(A+B)*sin(0.5*(ω1*t+ω2*t+φ+Π/2))cos(0.5(ω1*t-ω2*t-φ-Π/2))+(A-B)*cos(0.5(ω1*t+ω2*t+φ+Π/2))sin(0.5(ω1*t-ω2*t-φ-Π/2))

I w końcu:

f(t)=(A+B)*sin(0.5*((ω1+ω2)*t+(5/6)Π))cos(0.5((ω1-ω2)*t-5/6Π))+(A-B)*cos(0.5((ω1+ω2)*t+5/6Π))sin(0.5((ω1-ω2)*t-5/6Π))

z czego widać, że mamy tu sumę dwóch sygnałów i modulację amplitudową z wytłumioną nośną.

Nośna 0.5(f1+f2)=42.5Hz oraz sygnał modulujący (45-40)/2=2.5Hz co wedle dzisiejszego stanu techniki daje 2 prążki: 40Hz i 45Hz czyli po prostu sumę 2 sinusoid.

czyli próbkowanie musi być >90Hz jak już pisałem

Minimalna częstotliwość próbkowania i podobne :)

Post #1

Post #2

Post #3

Post #4

Post #5

Post #6