Czajka-lampa błyskowa do Smieny - Flash nie działa po podłączeniu do baterii

To duże szare na prawym zdjęciu to kondensator magazynujący energię. Z tego co opisujesz nie działa układ przetwornicy podwyższającej napięcie zbudowanej na tranzystorach - czarne "grzybki" w dolnym lewym rogu prawego zdjęcia. Trzeba sprawdzić tranzystory. Z wymianą może być pewien kłopot bo to zapewne tranzystory germanowe.
Jeżeli układ działa to neonówka na prawym dolnym zdjęciu powinna się jarzyć gdy kondensator magazynujący energię jest właściwie naładowany. Z tego co opisujesz zapewne tak nie jest.
Winę ponosi albo uszkodzenie podłczeń, pęknięcie na laminacie bądź uszkodzenie kondensatora magazynującego. W dalszej kolejności uszkodzenie przetwornicy zbudowanej na tranzystorach.

Nawet jak nie używasz ładowania z sieci to kondensator magazynujacy energię wyładowania jest ładowany do napięć powyżej 300V a to oznacza, że jak dotkniesz jego zacisków to bardzo mocno to odczujesz. Dlatego przed zabawami z tym kondensatorem należy zmierzyć na nim napięcie a jak to konieczne rozładować go przez rezystor rzędu 4.7kR/2W. Nie trzymaj go palcami w czasie rozładowywania.
Ogólnie nie polecam naprawy tego sprzętu o ile nie wiesz jak on działa. Dlatego, że kondensator gromadzący magazynuje sporą energię. Może nie tyle co defibrylator ale sporą,co niesie za soba realne zagrożenie dla życia. Jeżeli pomimo to będziesz chciał naprawić układ zachowaj dlaeko idącą ostrożność!
W przypadku pomiarów omomierzem na zimno przejść i elementów upewnij się czy kondensator jest rozładowany tak byś nie uszkodził miernika. Naprawę z zasilaniem 230V~ ogólnie sobie odpuść. Ta lampa ma sens na bateriach a jak będzie sprawnie działała z bateriami to nie będzie problemu ze zrobieniem jej w wariancie zasilania z sieci.

Po pierwsze powinieneś zadbać aby nie mierzyć rezystancji w układzie pod napięciem. Nie zakładaj, że np. przetwornica nie działała? Czyli najpierw przełączasz na pomiar napięcia i sprawdzasz czy na badanych elementach jest napięcie? Jeżeli jest np. na kondensatorze gromadzącym to musisz go rozładować.
Kondensator może być zwarty wewnętrzne na skutek uszkodzenia, może też mieć sporą rezystancję jeżeli nie jest sformatowany albo jest częściowo uszkodzony. Dioda podobnie, sprawdzasz czy dioda blokuje przepływ prądu w kierunku zaporowym a w kierunku przewodzenia ma w zależności od typu spadek napięcia rzędu 0.7V...0.4V. To wykonujesz na zakresie 2kR albo przeznaczonym do pomiarów złącz pólprzewodnikowych (diod).
Sprawne elementy zachowują się zgodnie z tym czego już się zapewne nauczyłeś. W innym przypadku traktuj element jako uszkodzony.
Jeżeli chcesz sprawdzić pojemność kondensatora gromadzącego to najpierw upewnij się, że jest rozładowany. Nastepnie na zakresie miernika rzędu 2MR zmierz jego rezystancję. Czekaj aż na mierniku zostanie przekroczony zakres co będzie oznaczało, że kondensator już się naładował ze źródła prądowego odpowiedzialnego za pomiary rezystancji miernikiem. Następnie powtórz to samo z kondensatorem o takiej samej pojemności ale na niższe napięcie. Czasy ładowania powinny być porównywalne. W przypadku zbyt krótkiego czasu pomiarowego możesz przełączyć miernik na wyższy zakres rezystancji, rozładować kondensatory zwierając ich wyprowadzenia a następnie powtórzyć pomiar szacunkowy.