Jak prąd przechodzi przez urządzenie i rola przewodu neutralnego

Uszanowanko, jestem trochę zielony w elektryce i chciałbym się zapytać, jak prąd przechodzi przez urządzenie. Brązowym prąd dochodzi, a neutralny jakie ma zadanie, czy przez niego też przechodzi prąd?

Też przechodzi. Żeby prąd płynął, musisz mieć zamknięty obwód. Jeśli przyjmiemy, że w standardowej sieci jesteś zasilany z uzwojenia transformatora, które jednym końcem jest uziemione, to masz "zero".
Wtedy na drugim końcu masz "fazę", co oznacza zmienne napięcie, raz ponad +300 V, raz poniżej -300 V (wartość skuteczna 230 V) i tak 50 razy na sekundę (50 Hz).
Więc prąd raz sobie płynie tym zerem w jedną, raz w drugą stronę. Tak samo jak fazowym.

Dla mnie autor się pyta o brązowy i niebieski w jakimś przewodzie w domu, powiedzmy do lampki, pewnie usłyszał o "zerze", co ma potencjał ziemi i się zastanawia, na co to, ale to sam autor musi wyjaśnić.

Chodzi mi o to, że prąd dopływa brązowym przewodem, urządzenie zużywa pewną część tego prądu, a co się dzieje dalej? Reszta przepływa przez niebieski przewód?

Jeśli chodzi o fizykę, to prąd to ruch ładunków (tu głównie elektronów) i odbywa się w obu przewodach. I się nie zużywa.
Wyobraź sobie młyn wodny, tam woda napędza koło młyńskie, ale się nie zużywa, płynie dalej. Oczywiście musi płynąć z góry na dół i przed kołem jest wyżej, a za kołem niżej, ale ta sama ilość płynie przed i za kołem.