Jak rozwiązać obwód metodą potencjałów węzłowych i metodą oczkową?

Imekxus napisał:

@ElektrodaBot pokaż co potrafisz i rozpisz mi jak rozwiązać to zadanie

Posty użytkowników poprzedzające pytanie:
```
Data: 25/06/2026
Treść: będę próbować, dziękuję
```
```
D...

Bezpośrednia odpowiedź na pytanie

Da się to zadanie spokojnie rozwiązać. Z Twojego schematu odczytuję dla zadania 2:

$$ J_1=2A $$

$$ E_1=2V,\quad E_2=4V,\quad E_3=3V $$

$$ R_1=1\Omega,\ R_2=3\Omega,\ R_3=5\Omega,\ R_4=7\Omega,\ R_5=5\Omega,\ R_6=8\Omega,\ R_7=7\Omega $$

$$ C_1=18\mu F $$

Ponieważ źródła są stałe, w stanie ustalonym kondensator traktujemy jako przerwę:

$$ I_C=0 $$

Przyjmuję taką konwencję znaków, jak wygląda na rysunku:

- $E_1$ — strzałka do góry, czyli górny zacisk ma potencjał wyższy o $E_1$,
- $E_2$ — strzałka do góry,
- $E_3$ — strzałka w dół,
- $J_1=2A$ płynie od $V_3$ do $V_1$, czyli w lewo.

Dla tej konwencji wyniki są:

$$ V_1 \approx 6{,}590V $$

$$ V_2 \approx 3{,}793V $$

$$ V_3 \approx -2{,}099V $$

Czyli napięcie na kondensatorze, liczone od górnej okładki do masy, wynosi:

$$ U_C=V_3-0=-2{,}099V $$

Jeżeli policzysz napięcie od dolnej okładki do górnej, będzie:

$$ U_C \approx 2{,}099V $$

---

Szczegółowa analiza problemu

1. Kondensator w obwodzie prądu stałego

Dla kondensatora:

$$ i_C=C\frac{du_C}{dt} $$

W stanie ustalonym prądu stałego napięcie się nie zmienia, więc:

$$ \frac{du_C}{dt}=0 $$

a zatem:

$$ i_C=0 $$

Dlatego w tym zadaniu kondensator $C_1$ należy usunąć z obwodu, czyli zastąpić rozwarciem. Nie płynie przez niego prąd. Można natomiast na końcu policzyć napięcie na kondensatorze jako potencjał węzła $V_3$ względem masy.

---

2. Metoda potencjałów węzłowych

Przyjmujemy masę tam, gdzie masz oznaczone:

$$ V_0=0V $$

Niewiadome potencjały:

$$ V_1,\quad V_2,\quad V_3 $$

Twoje oznaczenie węzłów jest dobre.

2.1. Gałąź lewa z $R_2$, $E_1$, $R_1$

Między węzłami $V_1$ i $V_2$ jest szeregowo:

$$ R_2,\ E_1,\ R_1 $$

Rezystancja zastępcza tej części:

$$ R_{12}=R_1+R_2=1\Omega+3\Omega=4\Omega $$

Prąd tej gałęzi, przyjęty od $V_1$ do $V_2$, wynosi:

$$ I_{12}=\frac{V_1-V_2-E_1}{R_1+R_2} $$

czyli:

$$ I_{12}=\frac{V_1-V_2-2}{4} $$

Znak $-E_1$ wynika z tego, że źródło $E_1$ ma zwrot do góry, czyli podczas przechodzenia od $V_1$ do $V_2$ przechodzimy przez źródło „od plusa do minusa”.

---

2.2. Równanie dla węzła $V_1$

Z węzła $V_1$ wychodzą prądy:

- przez lewą gałąź $R_2,E_1,R_1$ do $V_2$,
- przez $R_3$ do $V_2$,
- przez $R_4$ do $V_3$,
- źródło prądowe $J_1$ faktycznie wpływa do $V_1$, bo ma zwrot od $V_3$ do $V_1$.

Równanie:

$$ \frac{V_1-V_2-E_1}{R_1+R_2} + \frac{V_1-V_2}{R_3} + \frac{V_1-V_3}{R_4} - J_1=0 $$

Po podstawieniu wartości:

$$ \frac{V_1-V_2-2}{4} + \frac{V_1-V_2}{5} + \frac{V_1-V_3}{7} - 2=0 $$

---

2.3. Równanie dla węzła $V_2$

Z węzła $V_2$ wychodzą prądy:

- przez lewą gałąź do $V_1$,
- przez $R_3$ do $V_1$,
- przez $R_5$ do masy.

Równanie:

$$ \frac{V_2-V_1+E_1}{R_1+R_2} + \frac{V_2-V_1}{R_3} + \frac{V_2}{R_5}=0 $$

Po podstawieniu:

$$ \frac{V_2-V_1+2}{4} + \frac{V_2-V_1}{5} + \frac{V_2}{5}=0 $$

---

2.4. Równanie dla węzła $V_3$

Z węzła $V_3$ wychodzą prądy:

- przez $R_4$ do $V_1$,
- przez źródło prądowe $J_1$ do $V_1$,
- przez gałąź $E_2,R_7$ do masy,
- przez gałąź $R_6,E_3$ do masy.

Dla gałęzi z $E_2$:

$$ I_{E2,R7}=\frac{V_3-E_2}{R_7} $$

czyli:

$$ I_{E2,R7}=\frac{V_3-4}{7} $$

Dla gałęzi z $R_6,E_3$, ponieważ $E_3$ ma zwrot w dół:

$$ I_{R6,E3}=\frac{V_3+E_3}{R_6} $$

czyli:

$$ I_{R6,E3}=\frac{V_3+3}{8} $$

Równanie węzła $V_3$:

$$ \frac{V_3-V_1}{R_4} + J_1 + \frac{V_3-E_2}{R_7} + \frac{V_3+E_3}{R_6}=0 $$

Po podstawieniu:

$$ \frac{V_3-V_1}{7} + 2 + \frac{V_3-4}{7} + \frac{V_3+3}{8}=0 $$

---

3. Układ równań po uporządkowaniu

Otrzymujemy:

$$ \frac{83}{140}V_1-\frac{9}{20}V_2-\frac{1}{7}V_3=\frac{5}{2} $$

$$ -\frac{9}{20}V_1+\frac{13}{20}V_2=-\frac{1}{2} $$

$$ -\frac{1}{7}V_1+\frac{23}{56}V_3=-\frac{101}{56} $$

Można to zapisać macierzowo:

$$ \begin{bmatrix} \frac{83}{140} & -\frac{9}{20} & -\frac{1}{7}\\ -\frac{9}{20} & \frac{13}{20} & 0\\ -\frac{1}{7} & 0 & \frac{23}{56} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1\\ V_2\\ V_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ -\frac{101}{56} \end{bmatrix} $$

Albo liczbowo:

$$ \begin{bmatrix} 0{,}592857 & -0{,}45 & -0{,}142857\\ -0{,}45 & 0{,}65 & 0\\ -0{,}142857 & 0 & 0{,}410714 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1\\ V_2\\ V_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2{,}5\\ -0{,}5\\ -1{,}803571 \end{bmatrix} $$

Rozwiązanie:

$$ V_1=\frac{5325}{808}\approx 6{,}590V $$

$$ V_2=\frac{3065}{808}\approx 3{,}793V $$

$$ V_3=-\frac{212}{101}\approx -2{,}099V $$

---

4. Prądy gałęziowe

Teraz liczymy rozpływ prądów.

4.1. Prąd przez lewą gałąź $R_2,E_1,R_1$

Przyjęty kierunek: od $V_1$ do $V_2$.

$$ I_{12}=\frac{V_1-V_2-E_1}{R_1+R_2} $$

$$ I_{12}=\frac{6{,}590-3{,}793-2}{4} $$

$$ I_{12}\approx 0{,}199A $$

Czyli prąd płynie od $V_1$ przez $R_2,E_1,R_1$ do $V_2$.

---

4.2. Prąd przez $R_3$

Przyjęty kierunek: od $V_1$ do $V_2$.

$$ I_{R3}=\frac{V_1-V_2}{R_3} $$

$$ I_{R3}=\frac{6{,}590-3{,}793}{5} $$

$$ I_{R3}\approx 0{,}559A $$

---

4.3. Prąd przez $R_4$

Przyjęty kierunek: od $V_1$ do $V_3$.

$$ I_{R4}=\frac{V_1-V_3}{R_4} $$

$$ I_{R4}=\frac{6{,}590-(-2{,}099)}{7} $$

$$ I_{R4}\approx 1{,}241A $$

---

4.4. Źródło prądowe $J_1$

Z treści:

$$ J_1=2A $$

Zwrot na rysunku jest od $V_3$ do $V_1$, więc:

$$ I_{J1}=2A \quad \text{od } V_3 \text{ do } V_1 $$

Jeżeli liczysz prąd od $V_1$ do $V_3$, to:

$$ I_{J1,V_1\to V_3}=-2A $$

---

4.5. Prąd przez $R_5$

Przyjęty kierunek: od $V_2$ do masy.

$$ I_{R5}=\frac{V_2}{R_5} $$

$$ I_{R5}=\frac{3{,}793}{5} $$

$$ I_{R5}\approx 0{,}759A $$

---

4.6. Prąd przez gałąź $E_2,R_7$

Przyjęty kierunek: od $V_3$ do masy.

$$ I_{E2,R7}=\frac{V_3-E_2}{R_7} $$

$$ I_{E2,R7}=\frac{-2{,}099-4}{7} $$

$$ I_{E2,R7}\approx -0{,}871A $$

Wynik ujemny oznacza, że rzeczywisty prąd płynie odwrotnie, czyli:

$$ 0{,}871A $$

od masy do $V_3$, przez $R_7$ i $E_2$ w górę.

---

4.7. Prąd przez gałąź $R_6,E_3$

Przyjęty kierunek: od $V_3$ do masy.

$$ I_{R6,E3}=\frac{V_3+E_3}{R_6} $$

$$ I_{R6,E3}=\frac{-2{,}099+3}{8} $$

$$ I_{R6,E3}\approx 0{,}113A $$

Czyli rzeczywiście płynie od $V_3$ do masy.

---

4.8. Prąd kondensatora

$$ I_C=0A $$

Napięcie na kondensatorze:

$$ U_C=V_3-0=-2{,}099V $$

Ładunek, gdyby był potrzebny:

$$ Q=C U_C $$

$$ Q=18\mu F\cdot (-2{,}099V) $$

$$ Q\approx -37{,}8\mu C $$

Znak zależy od tego, którą okładkę przyjmiesz jako dodatnią.

---

5. Zestawienie wyników

Wielkość	Wartość	Kierunek przyjęty dodatni
$V_1$	$6{,}590V$	względem masy
$V_2$	$3{,}793V$	względem masy
$V_3$	$-2{,}099V$	względem masy
$I_{R2,E1,R1}$	$0{,}199A$	$V_1 \to V_2$
$I_{R3}$	$0{,}559A$	$V_1 \to V_2$
$I_{R4}$	$1{,}241A$	$V_1 \to V_3$
$I_{J1}$	$2A$	$V_3 \to V_1$
$I_{R5}$	$0{,}759A$	$V_2 \to 0V$
$I_{E2,R7}$	$-0{,}871A$	$V_3 \to 0V$
$I_{R6,E3}$	$0{,}113A$	$V_3 \to 0V$
$I_C$	$0A$	kondensator rozwarty

---

6. Metoda oczkowa

Żeby zrobić to wygodnie metodą oczkową, najlepiej najpierw zamienić gałąź równoległą:

$$ J_1 \parallel R_4 $$

na równoważne źródło Thevenina.

Masz:

$$ J_1=2A $$

$$ R_4=7\Omega $$

więc źródło napięciowe zastępcze ma wartość:

$$ E_J=J_1R_4=2\cdot 7=14V $$

Ponieważ źródło prądowe $J_1$ jest skierowane od $V_3$ do $V_1$, napięcie zastępcze ma biegun dodatni po stronie $V_1$.

Czyli gałąź między $V_1$ i $V_3$ można potraktować jako szeregowe:

$$ E_J=14V $$

oraz:

$$ R_4=7\Omega $$

---

6.1. Definicja prądów oczkowych

Przyjmijmy trzy prądy oczkowe, zgodne z ruchem wskazówek zegara:

- $I_A$ — lewe oczko między gałęzią $R_2,E_1,R_1$ oraz $R_3$,
- $I_B$ — środkowe oczko z $R_3$, gałęzią $R_4,E_J$, gałęzią $E_2,R_7$ oraz $R_5$,
- $I_C$ — prawe oczko między gałęzią $E_2,R_7$ oraz gałęzią $R_6,E_3$.

---

6.2. Równanie lewego oczka

$$ (R_1+R_2+R_3)I_A-R_3I_B=E_1 $$

Po podstawieniu:

$$ (1+3+5)I_A-5I_B=2 $$

$$ 9I_A-5I_B=2 $$

---

6.3. Równanie środkowego oczka

$$ -R_3I_A+(R_3+R_4+R_5+R_7)I_B-R_7I_C=-(E_J+E_2) $$

Po podstawieniu:

$$ -5I_A+(5+7+5+7)I_B-7I_C=-(14+4) $$

$$ -5I_A+24I_B-7I_C=-18 $$

---

6.4. Równanie prawego oczka

$$ -R_7I_B+(R_7+R_6)I_C=E_2+E_3 $$

Po podstawieniu:

$$ -7I_B+(7+8)I_C=4+3 $$

$$ -7I_B+15I_C=7 $$

---

7. Układ równań oczkowych

$$ \begin{cases} 9I_A-5I_B=2\\ -5I_A+24I_B-7I_C=-18\\ -7I_B+15I_C=7 \end{cases} $$

Rozwiązanie:

$$ I_A=-\frac{161}{808}\approx -0{,}199A $$

$$ I_B=-\frac{613}{808}\approx -0{,}759A $$

$$ I_C=\frac{91}{808}\approx 0{,}113A $$

Ujemne $I_A$ i $I_B$ oznaczają tylko tyle, że rzeczywisty kierunek prądu w tych oczkach jest przeciwny do założonego.

---

8. Sprawdzenie zgodności metod

Z prądów oczkowych:

$$ I_{R3}=I_A-I_B $$

$$ I_{R3}=-0{,}199-(-0{,}759) $$

$$ I_{R3}=0{,}560A $$

czyli zgodnie z metodą węzłową:

$$ I_{R3}\approx 0{,}559A $$

Prąd przez $R_5$, liczony od $V_2$ do masy:

$$ I_{R5}=-I_B $$

$$ I_{R5}=0{,}759A $$

też zgadza się z wynikiem z metody potencjałów węzłowych.

Prąd przez prawą gałąź $R_6,E_3$:

$$ I_{R6,E3}=I_C $$

$$ I_{R6,E3}=0{,}113A $$

również zgodnie z wcześniejszym wynikiem.

---

9. Komentarz do Twojego zapisu

To, co zacząłeś pisać pod schematem, jest w dużej części poprawne. Macierz przewodności masz praktycznie dobrze:

$$ G_{11}=\frac{1}{R_1+R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4} $$

$$ G_{22}=\frac{1}{R_1+R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_5} $$

$$ G_{33}=\frac{1}{R_4}+\frac{1}{R_7}+\frac{1}{R_6} $$

$$ G_{12}=G_{21}=-\left(\frac{1}{R_1+R_2}+\frac{1}{R_3}\right) $$

$$ G_{13}=G_{31}=-\frac{1}{R_4} $$

$$ G_{23}=G_{32}=0 $$

Najważniejsze, czego Ci brakowało, to poprawna prawa strona równań, czyli wpływ źródeł:

$$ \begin{bmatrix} J_1+\frac{E_1}{R_1+R_2}\\ -\frac{E_1}{R_1+R_2}\\ -J_1+\frac{E_2}{R_7}-\frac{E_3}{R_6} \end{bmatrix} $$

Po podstawieniu:

$$ \begin{bmatrix} 2+\frac{2}{4}\\ -\frac{2}{4}\\ -2+\frac{4}{7}-\frac{3}{8} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2{,}5\\ -0{,}5\\ -1{,}803571 \end{bmatrix} $$

I to jest klucz do rozwiązania. Sama macierz $G$ opisuje rezystory, ale źródła napięcia i prądowe muszą wejść do wektora prawej strony z odpowiednimi znakami.

Jeżeli prowadzący przyjął odwrotną konwencję strzałek dla źródeł napięcia, trzeba zmienić znaki $E_1,E_2,E_3$ w równaniach. Sama metoda pozostaje identyczna.

Imekxus napisał:

@ElektrodaBot R6 6 omów a nie 8

Posty użytkowników poprzedzające pytanie:
```
Data: 25/06/2026
Treść: @ElektrodaBot pokaż co potrafisz i rozpisz mi jak rozwiązać to zadanie
```
```
...

Bezpośrednia odpowiedź na pytanie

Masz rację — $R_6=6\Omega$, a nie $8\Omega$. Mój błąd przy odczytaniu schematu. Metoda pozostaje taka sama, ale zmienia się równanie dla węzła $V_3$ oraz wyniki liczbowe.

Przy tych samych założeniach zwrotów źródeł co wcześniej:

$$ J_1=2A $$

$$ E_1=2V,\quad E_2=4V,\quad E_3=3V $$

$$ R_1=1\Omega,\ R_2=3\Omega,\ R_3=5\Omega,\ R_4=7\Omega,\ R_5=5\Omega,\ R_6=6\Omega,\ R_7=7\Omega $$

oraz kondensator w stanie ustalonym DC:

$$ I_C=0 $$

Poprawne potencjały węzłów wychodzą:

$$ V_1 \approx 6{,}540V $$

$$ V_2 \approx 3{,}759V $$

$$ V_3 \approx -2{,}198V $$

Czyli napięcie na kondensatorze, liczone od górnej okładki do masy:

$$ U_C=V_3\approx -2{,}198V $$

---

Szczegółowa analiza problemu po poprawce $R_6=6\Omega$

1. Co zmienia się względem poprzedniego rozwiązania?

Zmienia się tylko część związana z prawą gałęzią, czyli gałąź:

$$ R_6 + E_3 $$

Poprzednio błędnie było:

$$ R_6=8\Omega $$

Teraz ma być:

$$ R_6=6\Omega $$

Dlatego zmienia się przewodność tej gałęzi:

$$ \frac{1}{R_6}=\frac{1}{6} $$

oraz prąd tej gałęzi:

$$ I_{R6,E3}=\frac{V_3+E_3}{R_6} $$

czyli teraz:

$$ I_{R6,E3}=\frac{V_3+3}{6} $$

---

2. Równania węzłowe

Przyjmujemy potencjały:

$$ V_1,\quad V_2,\quad V_3 $$

Masa:

$$ V_0=0V $$

Kondensator traktujemy jako przerwę, więc nie ma on udziału w równaniach prądowych.

---

Równanie dla węzła $V_1$

Bez zmian:

$$ \frac{V_1-V_2-2}{4} + \frac{V_1-V_2}{5} + \frac{V_1-V_3}{7} - 2 =0 $$

Po uporządkowaniu:

$$ \frac{83}{140}V_1-\frac{9}{20}V_2-\frac{1}{7}V_3=\frac{5}{2} $$

---

Równanie dla węzła $V_2$

Też bez zmian:

$$ \frac{V_2-V_1+2}{4} + \frac{V_2-V_1}{5} + \frac{V_2}{5} =0 $$

Po uporządkowaniu:

$$ -\frac{9}{20}V_1+\frac{13}{20}V_2=-\frac{1}{2} $$

---

Równanie dla węzła $V_3$

Tutaj wchodzi poprawione $R_6=6\Omega$:

$$ \frac{V_3-V_1}{7} + 2 + \frac{V_3-4}{7} + \frac{V_3+3}{6} =0 $$

Po uporządkowaniu:

$$ -\frac{1}{7}V_1+\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{6}\right)V_3 = -2+\frac{4}{7}-\frac{3}{6} $$

$$ \frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{6} = \frac{2}{7}+\frac{1}{6} = \frac{12}{42}+\frac{7}{42} = \frac{19}{42} $$

Prawa strona:

$$ -2+\frac{4}{7}-\frac{3}{6} = -2+\frac{4}{7}-\frac{1}{2} $$

$$ = -\frac{28}{14}+\frac{8}{14}-\frac{7}{14} = -\frac{27}{14} $$

Czyli:

$$ -\frac{1}{7}V_1+\frac{19}{42}V_3=-\frac{27}{14} $$

---

3. Poprawiony układ równań

Ostatecznie:

$$ \begin{cases} \frac{83}{140}V_1-\frac{9}{20}V_2-\frac{1}{7}V_3=\frac{5}{2} \\ -\frac{9}{20}V_1+\frac{13}{20}V_2=-\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{7}V_1+\frac{19}{42}V_3=-\frac{27}{14} \end{cases} $$

Macierzowo:

$$ \begin{bmatrix} \frac{83}{140} & -\frac{9}{20} & -\frac{1}{7}\\ -\frac{9}{20} & \frac{13}{20} & 0\\ -\frac{1}{7} & 0 & \frac{19}{42} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1\\ V_2\\ V_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ -\frac{27}{14} \end{bmatrix} $$

Liczbowo:

$$ \begin{bmatrix} 0{,}592857 & -0{,}45 & -0{,}142857\\ -0{,}45 & 0{,}65 & 0\\ -0{,}142857 & 0 & 0{,}452381 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1\\ V_2\\ V_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2{,}5\\ -0{,}5\\ -1{,}928571 \end{bmatrix} $$

---

4. Rozwiązanie układu

Z drugiego równania:

$$ -\frac{9}{20}V_1+\frac{13}{20}V_2=-\frac{1}{2} $$

Mnożymy przez 20:

$$ -9V_1+13V_2=-10 $$

$$ V_2=\frac{9V_1-10}{13} $$

Z trzeciego równania:

$$ -\frac{1}{7}V_1+\frac{19}{42}V_3=-\frac{27}{14} $$

Mnożymy przez 42:

$$ -6V_1+19V_3=-81 $$

$$ V_3=\frac{6V_1-81}{19} $$

Po podstawieniu do pierwszego równania wychodzi:

$$ V_1=\frac{13355}{2042} $$

$$ V_1\approx 6{,}540V $$

Dalej:

$$ V_2=\frac{7675}{2042} $$

$$ V_2\approx 3{,}759V $$

oraz:

$$ V_3=-\frac{2244}{1021} $$

$$ V_3\approx -2{,}198V $$

---

5. Poprawione prądy w gałęziach

Gałąź $R_2,E_1,R_1$

Kierunek dodatni: od $V_1$ do $V_2$.

$$ I_{12}=\frac{V_1-V_2-E_1}{R_1+R_2} $$

$$ I_{12}=\frac{6{,}540-3{,}759-2}{4} $$

$$ I_{12}\approx 0{,}195A $$

---

Rezystor $R_3$

Kierunek dodatni: od $V_1$ do $V_2$.

$$ I_{R3}=\frac{V_1-V_2}{R_3} $$

$$ I_{R3}=\frac{6{,}540-3{,}759}{5} $$

$$ I_{R3}\approx 0{,}556A $$

---

Rezystor $R_4$

Kierunek dodatni: od $V_1$ do $V_3$.

$$ I_{R4}=\frac{V_1-V_3}{R_4} $$

$$ I_{R4}=\frac{6{,}540-(-2{,}198)}{7} $$

$$ I_{R4}\approx 1{,}248A $$

---

Rezystor $R_5$

Kierunek dodatni: od $V_2$ do masy.

$$ I_{R5}=\frac{V_2}{R_5} $$

$$ I_{R5}=\frac{3{,}759}{5} $$

$$ I_{R5}\approx 0{,}752A $$

---

Gałąź $E_2,R_7$

Kierunek dodatni: od $V_3$ do masy.

$$ I_{E2,R7}=\frac{V_3-E_2}{R_7} $$

$$ I_{E2,R7}=\frac{-2{,}198-4}{7} $$

$$ I_{E2,R7}\approx -0{,}885A $$

Wynik ujemny oznacza, że rzeczywisty prąd płynie przeciwnie, czyli od masy do $V_3$, o wartości:

$$ 0{,}885A $$

---

Gałąź $R_6,E_3$

To jest poprawiona gałąź.

Kierunek dodatni: od $V_3$ do masy.

$$ I_{R6,E3}=\frac{V_3+E_3}{R_6} $$

$$ I_{R6,E3}=\frac{-2{,}198+3}{6} $$

$$ I_{R6,E3}\approx 0{,}134A $$

Czyli prąd rzeczywiście płynie od $V_3$ do masy.

---

Źródło prądowe $J_1$

$$ I_{J1}=2A $$

Przyjęty zwrot zgodnie z wcześniejszym opisem:

$$ V_3 \to V_1 $$

---

Kondensator

Dla składowej stałej:

$$ I_C=0A $$

Napięcie na kondensatorze:

$$ U_C=V_3-0 $$

$$ U_C\approx -2{,}198V $$

Jeśli liczysz napięcie odwrotnie, czyli od masy do górnej okładki kondensatora, to:

$$ U_C\approx 2{,}198V $$

---

6. Zestawienie poprawionych wyników

Wielkość	Wartość	Kierunek dodatni
$V_1$	$6{,}540V$	względem masy
$V_2$	$3{,}759V$	względem masy
$V_3$	$-2{,}198V$	względem masy
$I_{R2,E1,R1}$	$0{,}195A$	$V_1 \to V_2$
$I_{R3}$	$0{,}556A$	$V_1 \to V_2$
$I_{R4}$	$1{,}248A$	$V_1 \to V_3$
$I_{R5}$	$0{,}752A$	$V_2 \to 0V$
$I_{E2,R7}$	$-0{,}885A$	$V_3 \to 0V$
$I_{R6,E3}$	$0{,}134A$	$V_3 \to 0V$
$I_{J1}$	$2A$	$V_3 \to V_1$
$I_C$	$0A$	kondensator rozwarty

---

7. Szybkie sprawdzenie z I prawem Kirchhoffa

Dla węzła $V_1$:

$$ I_{12}+I_{R3}+I_{R4}\approx 0{,}195+0{,}556+1{,}248 $$

$$ \approx 1{,}999A\approx 2A $$

Czyli zgadza się ze źródłem prądowym $J_1=2A$, które wtłacza prąd do węzła $V_1$.

Dla węzła $V_2$:

$$ I_{12}+I_{R3}\approx 0{,}195+0{,}556=0{,}751A $$

$$ I_{R5}\approx 0{,}752A $$

Zgadza się w granicach zaokrąglenia.

---

8. Metoda oczkowa po poprawce

Jeżeli chcesz to pokazać także metodą oczkową, to po zamianie gałęzi:

$$ J_1 \parallel R_4 $$

na źródło Thevenina masz nadal:

$$ E_J=J_1R_4=2\cdot 7=14V $$

$$ R_J=R_4=7\Omega $$

Zmienia się tylko prawe oczko, bo:

$$ R_6+R_7=6+7=13\Omega $$

Zatem poprawiony układ oczkowy, przy oznaczeniach jak poprzednio, może mieć postać:

$$ \begin{cases} 9I_A-5I_B=2\\ -5I_A+24I_B-7I_C=-18\\ -7I_B+13I_C=7 \end{cases} $$

Rozwiązanie:

$$ I_A\approx -0{,}195A $$

$$ I_B\approx -0{,}752A $$

$$ I_C\approx 0{,}134A $$

I to się zgadza z metodą węzłową:

$$ I_{R6,E3}=I_C\approx 0{,}134A $$

$$ I_{R5}=-I_B\approx 0{,}752A $$

---

Najważniejsza poprawka

W Twojej macierzy należy wpisać:

$$ G_{33}=\frac{1}{R_4}+\frac{1}{R_7}+\frac{1}{R_6} $$

czyli:

$$ G_{33}=\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{6} $$

$$ G_{33}=\frac{19}{42} $$

A prawa strona dla trzeciego równania:

$$ J_{33}=-J_1+\frac{E_2}{R_7}-\frac{E_3}{R_6} $$

$$ J_{33}=-2+\frac{4}{7}-\frac{3}{6} $$

$$ J_{33}=-\frac{27}{14} $$

To jest sedno poprawki. Reszta równań zostaje taka sama.