Witam,
Special11 napisał: Witam, mam problem z zadaniem polegającym na dodaniu napięć w postaci zespolonej. Moje zadanie polega na dodaniu następujących napięć:
$$u1(t) =20\cdot cos(300\cdot t+45)$$
$$u2(t) =7\cdot cos(300\cdot t-45)$$
przecież to da się sumować bez zamieniana na reprezentację
Symboliczną (jako liczba zespolona).
Nosi to w matematyce nazwę
sumowania harmonik -
ZOBACZ - tylko albo zamienisz funkcję trygonometryczną
cosinus na
sinus - patrz niżej - albo skorzystasz z tożsamości trygonometrycznej na sumę/różnicę argumentu funkcji
cosinus.
Special11 napisał: Mój problem polega na niezrozumieniu zachowania kątów w przypadku zapisów tylko z cosinusem, lub tylko z sinusem.
Jeżeli zapis $$u1(t) =20\cdot cos(300\cdot t+45)$$ [równa się] temu $$\underline{U1}=20\cdot(cos45+j\cdot sin45)$$
To nie jest prawdą - ta zamiana z postaci
równania wartości chwilowej (czasowego):
u1(t) =20•cos(300•t+45°), na równoważną postać
Symboliczną Amplitudy.
I należy tu odróżnić to od zamiany na równoważną postać
Symboliczną o Wartości Skutecznej, a której tu nie będę dalej wspominał.
Popatrz na wykres
Układu Współrzędnych Zespolonych Gaussa oraz na
wirujący na nim
wskaz - w
kierunku matematycznie dodatnim czyli
przeciwnie do
kierunku ruchu wskazówek zegara - o promieniu
r =20 i w
Układzie Współrzędnych Biegunowych a zaczynającego się dla cosinusoidy od
osi urojonej (Img) owego
Układu Współrzędnych Zespolonych Gaussa, innymi słowy
oś biegunowa jest tu tożsama z
dodatnią półosią części urojonej
Układu Współrzędnych Zespolonych Gaussa.
Special11 napisał: to jak wyglądałby zespolony zapis [trygonometryczny postaci] równania wartości chwilowej: $$u1(t) =20\cdot sin(300\cdot t+45)$$.
Patrz wyżej - właśnie tak, jak to tam zapisałeś, czyli:
$$\underline{U1}=20\cdot(cos45+j\cdot sin45)$$.
A więc,
musi być, np. dla równania:
u(t) = Um•sin(ω•t) -
kąt fazy początkowej jest tu równy zero -
zapis Symboliczny tego napięcia (dla chwili
t =0) o takiej postaci:
U = Um•(cos0° + j•sin0°) = Um
- jak widać jest to
liczba rzeczywista =
części rzeczywistej liczby zespolonej, ponieważ
część urojona tej liczby zespolonej jest równa zero.
Innymi słowy, by być w zgodzie z tym co wyżej, należy skorzystać z zależności trygonometrycznej - wzorów redukcyjnych - dla funkcji kąta ostrego:
cos(α) = sin(90°+α), pamiętamy tu
o kierunku wirowania wskazów, ponieważ ogólnie byłoby to: cos(α) = sin(90°±α) - należy pamiętać, że funkcja
cosinus jest parzysta - ale znak minus nie spełnia tu założeń.
Wszak jak
argument cosinusoidy (zaczynający się od dodatniej półosi części urojonej) ma wartość równą zero, to
argument sinusoidy (zaczynający się od dodatniej półosi części rzeczywistej) musi mieć wartość +90° (+Π/2) - aby ich
wirujące wskazy (wirujące w tę samą stronę - matematycznie dodatnią) pokrywały się, czyli
były one
tożsame.
Special11 napisał: Jeśli wyglądałby tak samo to w każdym przypadku, czy tylko w przypadku, gdy φ wynosi 45°?
Patrz wyżej, przecież wartość 45° jest tu
kątem fazy początkowej, czyli dla wartości argumentu (zmiennej niezależnej)
t =0 i może on przyjmować każdą wartość z zakresu kąta pełnego {0°, 360°} a w mierze łukowej {0, 2•Π} radianów.
Pozdrawiam
P.S. Zacytowane wzory, a napisane przez Ciebie za pomocą edytora LaTEX, doprowadziłem/poprawiłem do postaci występujących we właściwej ich formie.
