Ponieważ sam policzyłem już te zależności to pozwolę sobie napisać jak.
Wyszedłem od równań transformatora, oraz prawa Faradaya.
Znalazłem układ równań różniczkowych opisujących transformator w Matlab simulink, jest dla mnie podstawowym prawem dla transformatora, Według mnie prawo to zostało utworzone z prawa dla cewki przez dodanie pochodnej prądu i2 oraz i1 z nieznanym współczynnikiem M.
$$
\left\{\begin{array}{l} u_1(t)=L_1 \cdot \frac{di_1(t)}{dt} + M \cdot \frac{di_2(t)}{dt}\\u_2(t)=M \cdot \frac{di_1(t)}{dt} + L_2 \cdot \frac{di_2(t)}{dt} \end{array}
$$
Wyznaczenie współczynnika AL oraz funkcji M=M(k,L1,L2)
Przeprowadzimy eksperyment myślowy:
W przypadku transformatora cewek sprzężonych, jeśli przyjmiemy, że i2(t)=0 oraz podamy wymuszenie skokowe u0 na uzwojenie pierwotne, napięcie indukowane na uzwojeniu wtórnym oznaczamy przez ε, dodamy dwa prawa Faradaya, strumień generowany przez uzwojenie pierwsze oznaczymy przez фB1, strumień przechodzący do uzwojeniu drugim przez фB2 oraz N1, N2 to ilości uzwojeń, otrzymamy równania:
$$
\left\{\begin{array}{l} u_0=N_1 \cdot \frac{d \phi _{B1}}{dt} \\u_0=L_1 \cdot \frac{di_1(t)}{dt}\\ \varepsilon=M \cdot \frac{di_1(t)}{dt} \\ \varepsilon = N_2 \cdot \frac{d \phi _{B2}}{dt} \end{array}
$$
Na rozwartym drugim uzwojeniu powstaje napięcie indukcji ε związane ze wzrostem strumienia фB2 w tym uzwojeniu (nie ma znaku minus).
Po podstawieniu u0 z pierwszego do drugiego oraz ε z czwartego do trzeciego mamy:
$$
\left\{\begin{array}{l} N_1 \cdot \frac{d \phi _{B1}}{dt} = L_1 \cdot \frac{di_1(t)}{dt} \qquad \qquad \Rightarrow \qquad \qquad\frac{di_1(t)}{dt} = \frac{N_1}{L_1} \cdot \frac{d \phi _{B1}}{dt} \\ N_2 \cdot \frac{d \phi _{B2}}{dt} = M \cdot \frac{di_1(t)}{dt} \end{array}
$$
Po podstawieniu pochodnej prądu i1(t)/dt z pierwszego do drugiego równania mamy:
$$
N_2 \cdot \frac{d \phi _{B2}}{dt} = M \cdot \frac{N_1}{L_1} \cdot \frac{d \phi _{B1}}{dt}
$$
Po pomnożeniu przez dt mamy:
$$
N_2 \cdot d \phi _{B2} = M \cdot \frac{N_1}{L_1} \cdot d \phi _{B1}
$$
Po scałkowaniu фB1 w przedziale (0 - фB1) oraz фB2 w przedziale (0 - фB2) otrzymamy zależność pomiędzy strumieniami фB1 фB2:]
$$
N_2 \cdot \phi _{B2} = M \cdot \frac{N_1}{L_1} \cdot \phi _{B1}
$$
Wprowadzamy oznaczenie фB2/фB1=k, dodatkowo wiemy, że w pierwszym eksperymencie podajemy wymuszenie skokowe na uzwojenia pierwsze k<1, nie cały strumień przechodzi do uzwojenia drugiego.
$$
M= \cdot \frac{N_2}{N_1} \cdot L_1 \frac{\phi _{B2} }{\phi _{B1} }; \qquad \qquad \frac{\phi _{B2} }{\phi _{B1} }=k<1
$$
Analogicznie można przeprowadzić drugi eksperyment myślowy rozwierając pierwsze uzwojenie i1=0 a podając wymuszenie skokowe u0 na drugie, wówczas фB1/фB2=k<1, otrzymamy analogiczne równanie:
$$
M= \cdot \frac{N_1}{N_2} \cdot L_2 \frac{\phi _{B1} }{\phi _{B2} }; \qquad \qquad \frac{\phi _{B1} }{\phi _{B2} }=k<1
$$
Po przyrównaniu ostatnich równań na M możemy napisać:
$$
\frac{N_2}{N_1} \cdot L_1 \cdot k = \frac{N_1}{N_2} \cdot L_2 \cdot k \qquad \qquad \Rightarrow \qquad \qquad\frac{N_2^2}{N_1^2} = \frac{L_2}{L_1}
$$
stąd:
$$
\frac{N_2}{N_1} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1} }
$$
Po podstawieniu do wcześniejszego równania na M mamy:
$$
M=k \cdot \sqrt{L_1 \cdot L_2}
$$
Dodatkowo można wyznaczyć stałą AL dla rdzenia transformatora oraz cewki.
$$
\frac{N_2^2}{L_2} = \frac{N_1^2}{L_1} =\frac {1}{AL}
$$
Zgodnie z sugestią _lazor_ AL zmieniłem na 1/AL
Ciekawe w której książce znajdziemy to wyprowadzenie
Wykorzystano:
http://web.mit.edu/viz/EM/visualizations/coursenotes/modules/guide11.pdf - tutaj nie dokończyli ale w sumie to samo i nie o to im chodziło
http://www.fis.agh.edu.pl/~pracownia_fizyczna/cwiczenia/44.pdf - tutaj nieudolnie pisze, że można obliczyć jakiś niedouczony fizyk
Jeśli chodzi o równoległe połączenie cewek sprzężonych to nie chcę mi się przepisywać bo trochę tego więcej tylko zamieszczę w pliku pdf:
