Tu masz przykład najprostszego układu różniczkującego i całkującego:
(krótki wykład ;D ) zależnie do czego chcesz go wykorzystać, musisz rozpatrzeć jego konkretne własności.
Oznaczenia:
(całkujący R=R1, C=C1, różniczkujący R=R2, C=C2)
stała czasowa obu układów jest taka sama (dla podanych elementów) i wynosi R*C=1 ms częstotliwość graniczna dla obu ukłądów (zdefiniowana jako spadek o -3 dB (do wartości 0.707) względem poziomu ustalonego) wyraża się wzorem:
$$fgr=\frac{1}{2*\Pi*R*C}= 159.16 Hz$$ dla podanych elementów.
Przebieg czasowy na kondensatorze układu całkującego:
Ładowanie stałym napięciem wejściowym
$$Uc=Uc0+(Uwe-Uc0)*(1-e^{\frac{-t}{RC}})$$
Uc - napięcie na kondensatorze
Uwe - napięcie wejściowe
Uc0 - początkowe napięcie na kondensatorze
t - czas
Zakładając Uc0=0 to po czasie:
RC na kondensatorze jest 0.632 Uwe
2.3 RC na kondensatorze jest 0.9 Uwe
4.6 RC na kondenatorze jest 0.99 Uwe
6.9 RC na kondensatorze jest 0.999 Uwe
Rozładowanie do 0V (np. Uwe=0)
$$Uc=Uc0*e^{\frac{-t}{RC}}$$
Zakładając Uc0 - wartość początkowa napięcia na Uc, to po czasie:
RC na kondensatorze jest 0.368 Uc0
2.3 RC na kondensatorze jest 0.1 Uc0
4.6 RC na kondenatorze jest 0.01 Uc0
6.9 RC na kondensatorze jest 0.001 Uc0
Charakterystyki częstotliwościowe obu układów (całkujący ma charakter dolnoprzepustowy a różniczkujący górnoprzepustowy):
W obu przypadkach charakterystyki opadają z prędkością 6dB/oktawę (czyli 2 krotna zmiana częstotliwości powoduje spadek/wzrost o 6 dB (daleko od kolana))
Całkujący (ω=2*Π*f)
$$Uwy(j\omega)=\frac{1}{1+j \omega RC}$$
Różniczkujący
$$Uwy(j\omega)=\frac{j \omega RC}{1+j \omega RC}$$
$$dB=20 log\frac{U1}{U2}$$ - względna zmiana wartości
+6 dB -> 2
+3 dB -> 1.41
0 dB -> 1
-3 dB -> 0.701
-6 dB -> 0.5
Zachowanie obu układów przy pobudzeniu sygnałem prostokątnym o wypełnieniu 50% i amplitudzie 5V (składowa stała przebiegu wynosi 2.5V)
Dla 10Hz - tu układ całkujący prawie nie nie zniekształca przebiegu za to układ różniczkujący dokonuje prawidłowego (prawie) różniczkowania (pochodna stałej=0 co widać na płaskich fragmentach przebiegu, pochodna skoku jednostkowego (zbocza) jest impulsem (o czasie trwania dążącym do 0 (jeżeli RC dąży do 0) i amplitudzie skoku napięcia)
Dla 100Hz - tu mamy stany pośrednie - widać, że czas ładowania układu całkującego powoduje zmianę szybkości narastania i opadania przebiegu
W układzie różniczkującym, zmiany napięcia na rezystorze nadążają jeszcze za zmianami napięcia wejściwego.
Dla 1kHz - tu widać, że układ całkujący co raz bardziej wycina składową zmienną przebiegu (przebieg wejściowy ma składowe sinusoidalne 1,3,5,7 ... kHz a filtr już tnie na 160 Hz)
Układ różniczkujący co raz mniej zniekształca składową zmienną, choć widać, że płaskie fragmenty przebiegu nie są jeszcze oddane poprawnie (jest zwis)
Dla 10 kHz - tu widzimy, że układ całkujący odtwarza nam składową stałą przebiegu (wycina składową zmienną) za to układ różniczkujący wycina nam składową stałą przebiegu (przebieg staje się symetryczny względem osi 0V)
W ostatnich przykładach widać też, że po włączeniu sygnału przebieg wyjściowy nie ustala się od razu ale występuje też stan przejściowy związany z ustalaniem się składowej stałej na kondensatorze.
Wnioski wyciągnij sam, jaką kiedy należy stosować stałą czasową
projektujesz płytkę drukowaną, wykonujesz ją i montujesz elementy (półprzewodniki na końcu).
