Wartości fizyczne nie mogą być ustalane z absolutną pewnością. Narzędzia i systemy pomiarowe zawsze posiadają pewną tolerancję i nie są w pełni odporne na zakłócenia, które do pomiaru wprowadzają pewien stopień niepewności. W odniesieniu do niepewności pomiaru często stosuje się następującą terminologię:
* Uchyb lub błąd bezwzględny pomiar - różnica pomiędzy wartością rzeczywistą a zmierzoną (w dalszej części tekstu, dla uproszczenia, używać będziemy określenia dokładność – przyp. red);
* Wariancja - miara wielkości losowego rozkładu mierzonych wartości wokół wartości oczekiwanej (w dalszej części tekstu używać będziemy określenia precyzja – przyp. red.);
* Rozdzielczość - wartość najmniejszej rozróżnialnej przez układ pomiarowy zmiany wartości rzeczywistej mierzonego parametru.
W praktyce terminy te są często stosowane nieściśle lub nawet wymiennie – znamienne jest stosowanie wymiennie rozdzielczości i dokładności (w rozumieniu wariancji lub odchylenia standardowego) pomiaru. W poniższym artykule pokrótce omówimy te pojęcia.
Niepewność pomiaru
Niepewności pomiaru można podzielić na błędy systematyczne i losowe. Błędy systematyczne są spowodowane odbiegającymi od idealnych przyrządami pomiarowymi, czyli błędami pomiaru, wzmocnienia, offsetu, itp. narzędzi pomiarowych. Błędy losowe z kolei spowodowane są przez szum i indukowane w układzie napięcia lub prądy.
Dokładność i precyzja definicji
Często pojęcia dokładność i precyzja stosuje się zamiennie; są uważane za synonimy. Te dwa terminy mają jednak zupełnie inne znaczenie. Dokładność wskazuje, jak blisko jest wartość pomiaru od wartości rzeczywistej danej wartości, tj. jakie jest odchylenie między wartościami zmierzonymi a rzeczywistymi. Precyzja odnosi się do losowego rozkładu mierzonych wartości.
Rys.1. Definicje niepewności. Po lewej
stronie seria pomiarów. Po prawej
wartości na histogramie.Po wykonaniu szeregu pomiarów stabilnego napięcia lub innego parametru, zmierzone wartości wykażą pewną zmienność. Jest to spowodowane m.in. szumem cieplnym w obwodach sprzętu pomiarowego i pozostałej części ustroju pomiarowego. Lewy wykres na rysunku 1 obrazuje tą zmienność.
Histogram
Zmierzone wartości można wykreślić na histogramie, jak pokazano na rysunku 1. Histogram pokazuje, jak często występuje w pomiarze dana wartość. Najwyższy punkt histogramu, czyli najczęściej otrzymana w pomiarze wartość, wskazuje na ogół na wartość średnią. Wskazuje na to niebieska linia na obu wykresach. Czarna linia reprezentuje rzeczywistą wartość parametru. Różnica między średnią zmierzoną wartością a wartością rzeczywistą to dokładność. Szerokość histogramu wskazuje na rozkład poszczególnych pomiarów. Ten rozkład pomiarów mówi o precyzji pomiaru.
Używaj poprawnych definicji
Dokładność i precyzja mają więc dwa różne znaczenia. Jest zatem całkiem możliwe, że pomiar jest bardzo precyzyjny, ale wcale nie jest dokładny; lub odwrotnie - bardzo dokładny pomiar wcale nie musi być precyzyjny. Zasadniczo pomiar uważa się za poprawny, jeśli jest dokładny i precyzyjny.
Dokładność
Dokładność jest jedną z cech, która wskazuje na poprawność pomiaru. Ponieważ przy pojedynczym pomiarze precyzja wpływa również na dokładność, zostanie pobrana średnia z serii pomiarów.
Niepewność przyrządów pomiarowych jest zwykle podawana przez dwie wartości: niepewność odczytu i niepewność dla pełnej skali (pełnego zakresu pomiarowego). Te dwie specyfikacje razem określają całkowitą niepewność danego pomiaru. Wartości niepewności pomiaru podawane są w procentach lub ppm (częściach na milion) w stosunku do aktualnej normy krajowej. 1% odpowiada 10000 ppm.
Podana niepewność jest określona dla zarówno konkretnych zakresów temperatur pracy, jak i na określony czas po kalibracji urządzenia. Należy również pamiętać, że dla różnych zakresów pomiarowych mogą obowiązywać różne wartości niepewności.
Rys.2. Niepewność odczytu 5% przy
wartości odczytu 70 V.Niepewność związana z odczytem
Wskazanie odchylenia procentowego bez dalszej specyfikacji odnosi się również do odczytu. Tolerancje dzielników napięcia, dokładność wzmocnienia, bezwzględne odchylenie odczytu czy digitalizacja (kwantyzacja) mierzonej wartości mają wpływ na tę niedokładność.
Woltomierz, który odczytuje 70,00 V i ma specyfikację „± 5% odczytu” będzie miał niepewność równą 3,5 V (5% z 70 V) powyżej i poniżej pomiaru. Rzeczywiste napięcie będzie wynosić będzie zatem między 66,5 a 73,5 wolta, co również zapisać można jako (70,00 ± 3,50 ) V.
Rys.3. Niepewność 3% pełnej skali
na zakresie 100 V.Niepewność wyrażona w stosunku do pełnej skali
Ten rodzaj niedokładności jest spowodowany błędami przesunięcia i błędami liniowości wzmacniaczy, a także – w układach, gdzie dochodzi do digitalizacji wartości mierzonej – nieliniowością przetwarzania analogowo-cyfrowego i niepewnością samego przetwornika ADC. Specyfikacja ta odnosi się do pełnego zakresu pomiarowego układu.
Woltomierz może mieć np. specyfikację „3% pełnej skali”. Jeżeli podczas pomiaru wybierany jest zakres 100 V (tj. pełna skala), niepewność wynosi 3% ze 100 V = 3 V niezależnie od mierzonego napięcia. Jeśli odczyt, w tym zakresie, wynosi 70 V, wówczas rzeczywiste napięcie wynosi od 67 do 73 woltów – (70 ± 3) V.
Rysunek 3 wyjaśnia, że typ tolerancji jest niezależny od odczytywanej wartości. Gdyby zmierzono w ten sposób wartość 0 V, to napięcie w rzeczywistości wynosić może od -3 do +3 woltów – (0 ± 3) V.
Niepewność w pełnym zakresie pracy wyrażona w ‘cyfrach’
Często cyfrowym multimetrem określa się pełną niepewność w postaci ilości cyfr znaczących zamiast wartości procentowej. Multimetr cyfrowy z 3½ cyfrowym wyświetlaczem (zakres od -1999 do 1999), w specyfikacji można odczytać wartość niepewności jako„+ 2 cyfry”. Oznacza to, że niepewność wyświetlacza wynosi 2 jednostki. Na przykład: jeśli wybrano zakres 20 woltów (± 19,99 V), niepewność w pełnej skali wynosi ± 0,02 V. Wyświetlacz pokazuje wartość 10,00 V, co oznacza, że wartość rzeczywista wynosi (10,00 ± 0,02) V.
Rys.4. Niepewność całkowita 5%
odczytu i 3% pełnej skali dla
zakresu 100 V i odczytu 70 V.Obliczanie niepewności pomiaru
Specyfikacja tolerancji odczytu i pełnej skali razem określają całkowitą niepewność pomiaru dla danego przyrządu. W poniższym przykładzie zastosowano te same wartości, co w powyższych przykładach, to znaczy:
* Dokładność: ± 5% dla odczytu i 3% pełnej skali;
* Zakres pomiarowy: 100 V;
* Zakres odczytu: 70 V.
Całkowitą niepewność pomiaru oblicza się teraz w następujący sposób:
$$\frac {\%odczytany} {100%} \times odczyt = \frac {5\%} {100%} \times 70 V = 3,5 V$$
$$\frac {\%Pełnej\ skali} {100%} \times zakres = \frac {3\%} {100%} \times 100 V = 3 V \qquad (1)$$
$$3,5 V + 3 V = 6,5 V$$
W tej sytuacji całkowita niepewność pomiaru wynosi zatem 6,5 V w górę i w dół. Rzeczywista wartość mieści się zatem w zakresie od 62,5 V do 77,5 V. Rysunek 4 obrazuje to graficznie.
Niepewność procentowa to związek między odczytem a niepewnością. W tej sytuacji jest to opisane równaniem 2:
$$\frac {niepewność} {odczyt} \times 100\% = \frac {6,5 V} {70 V} * 100% = 9,29% \qquad (2)$$
Ilość cyfr urządzenia
Multimetry cyfrowe mogą zawierać specyfikację „± 2,0% rdg, + 4 cyfry. Oznacza to, że do niepewności odczytu 2% należy dodać jeszcze „4 cyfry”. Jako przykład wykorzystajmy ponownie multimetr 3½-cyfrowy. Odczytujemy na nim wartość 5,00 V, podczas gdy wybrany jest zakres 20 V. 2% odczytu oznaczałoby niepewność wynoszącą 0,1 V. Dodać należy do tego niedokładność cyfr (= 0,04 V). Całkowita niepewność wynosi zatem 0,14 V. Rzeczywista wartość powinna wynosić zatem (5,00 ±0,14) V.
Wypadkowa łączna niepewność pomiaru
Często brana jest pod uwagę tylko niepewność samego przyrządu pomiarowego. Należy jednak również zadbać o uwzględnienie dodatkowej niepewności pomiarowej wykorzystanych akcesoriów pomiarowych, jeśli są one używane. Oto kilka często spotykanych przykładów:
Zwiększona niepewność podczas używania sondy oscyloskopowej 1:10
Gdy stosuje się sondę 1:10, należy brać pod uwagę nie tylko niepewność pomiaru samego przyrządu. Impedancja wejściowa zastosowanego przyrządu i rezystancja sondy, które razem tworzą dzielnik napięcia, również mają wpływ na niepewność.
Rys.5. Sonda 1:1 wykorzystana do pomiaru.
Rys.6. Sonda 1:10 podłączona do
oscyloskopu wprowadza dodatkową
niepewność do pomiaru.Rysunek 5 pokazuje schematycznie oscyloskop z sondą 1:1. Jeśli uznamy tę sondę za idealną (brak rezystancji szeregowej), napięcie przyłożone do sondy jest przekazywane bezpośrednio na wejściu oscyloskopu. Niepewność pomiaru jest teraz określana tylko przez tolerancję w tłumiku, wzmacniaczu i dalszej obróbce w oscyloskopie, i jest określona przez jego producenta. Na niepewność ma również wpływ sieć rezystancyjna, która tworzy rezystancję wewnętrzną Ri. Jest to uwzględnione w określonych przez producenta tolerancjach.
Rysunek 6 pokazuje ten sam zakres pomiarowy, ale teraz wykorzystana sonda to 1:10. Sonda ta ma wewnętrzną rezystancję szeregową równą Rp i wraz z rezystancją wejściową oscyloskopu Ri tworzy dzielnik napięcia. Tolerancja rezystorów w dzielniku napięcia spowoduje, że sonda pomiarowa dodaje własną niezerową niepewność.
Tolerancję rezystancji wejściowej oscyloskopu można znaleźć w specyfikacjach oscyloskopu. Tolerancja rezystancji szeregowej Rp sondy nie zawsze jest podana w jej dokumentacji. Jednakże niepewność układu pomiarowego określona przez połączenie sondy oscyloskopu z oscyloskopem danego typu będzie znana. Jeżeli sonda jest używana z innym typem oscyloskopu niż zalecany, niepewność pomiaru nie jest określona. Należy wystrzegać się takiej sytuacji w wymagających precyzji pomiarach.
Pierwiastek sumy kwadratów
Aby uzyskać wynikową niepewność pomiaru, wszystkie tolerancje składowe należy zsumować w postaci pierwiastku z sumy kwadratów. W poniższym przykładzie oscyloskop ma tolerancję 1,5%, a używana sonda 1:10 charakteryzuje się niepewnością pomiaru równą 2,5%. Te dwie specyfikacje muszą być zsumowane – stosuje się do tego pierwiastek z sumy kwadratów. Pokazano to na równaniu 3 poniżej.
$$ \%total = \sqrt {\%odczyt ^2 + \%systemowy ^2} = \sqrt {1,5^2 + 2,5^2} \approx 2,915\% \qquad (3)$$
Rys.7. Zwiększenie niepewności
podczas korzystania z rzeczywistego
opornika do pomiaru prądu.Pomiary prądu z pomocą opornika pomiarowego
Często, aby mierzyć wartość płynącego prądu, stosuje się opornik pomiarowy. Prąd płynący przez ten element powoduje na nim pewien spadek napięcia, który można łatwiej zmierzyć z wykorzystaniem np. multimetru czy oscyloskopu. Tolerancja tego opornika przekłada się na niepewność pomiarową tego ustroju. Znając ją oraz niepewność pomiarową urządzenia wykorzystanego w dalszej części pomiaru, oszacować można, podobnie jak powyżej, całkowitą niepewność pomiaru z pomocą pierwiastka sumy kwadratów. Zaprezentowano to na równaniu 4:
$$ \%total = sqrt {\%odczyt^2 + \%opornik^2} = \sqrt {1,5^2 + 2^2} \approx 2,5\% \qquad (4)$$
W tym przykładzie całkowita niepewność odczytu wynosi 2,5%.
Rezystancja bocznika zależna jest dodatkowo od temperatury. Wartość rezystancji jest określona dla pewnej standardowej temperatury. Zależność od temperatury – temperaturowy współczynnik rezystancji - jest często wyrażany w ppm/°C i mówi o tym, jak zmienia się opór elektryczny rezystora wraz ze zmianą jego temperatury. Jako przykład obliczono wartość rezystancji w temperaturze otoczenia (Tamb) równej 30°C. Wykorzystany opornik pomiarowy charakteryzuje się nominalną rezystancją R = 100 Ω w temperaturze 22°C (są to parametry Rnom i Tnom). Temperaturowy współczynnik rezystancji elementu wynosi 20 ppm/°C. Wyliczenia rzeczywistego oporu pokazano na równaniu 5.
$$ ( 1 + (T_{amb} - T_{nom}) \times \frac {ppm} {1000000}) \times R_{nom} = ( 1 + (30 - 22) \times \frac {20} {1000000}) \times 100 = 100,016 \Omega \qquad (5)$$
Prąd przepływający przez bocznik powoduje rozpraszanie energii, co z kolei prowadzi do wzrostu temperatury, a tym samym zmiany wartości rezystancji. Zmiana wartości rezystancji spowodowana przepływem prądu zależy od kilku czynników. W celu uzyskania bardzo dokładnych pomiarów bocznik należy skalibrować przy konkretnym oporze, przepływie prądu i warunkach środowiskowych, w których będzie on stosowany.
Precyzja
Termin precyzja jest używany do wyrażenia losowego błędu pomiaru. Losowy charakter odchyleń mierzonej wartości ma głównie pochodzenie termiczne w przypadku systemów elektronicznych. Ze względu na arbitralny charakter tego szumu nie można podać błędu bezwzględnego. Precyzja daje tylko prawdopodobieństwo, że wartość pomiaru mieści się w podanych granicach.
Rys.8. Rozkład prawdopodobieństwa
dla μ = 2 en σ = 1.Rozkład GaussaSzum termiczny ma rozkład Gaussa zwany rozkładem normalnym. Jest on opisany następującym równaniem:
$$f(x) = \frac {1} {\sigma \sqrt {2 \times \pi}} \times exp (\frac {-(x-\mu)^2}{2 \times \sigma^2}) \qquad (6)$$
gdzie μ wartość średnia, a σ wskazuje stopień rozproszenia i odpowiada wartości skutecznej sygnału szumu. Funkcja ta zapewnia krzywą rozkładu prawdopodobieństwa, jak pokazano na rysunku 8, gdzie średnia wartość μ=2, a e efektywna amplituda szumu σ=1.
Tabela prawdopodobieństwa
W tabeli poniżej wymieniono niektóre wartości prawdopodobieństwa znalezienia wartości, wyrażone na określonym poziomie. Jak widać, prawdopodobieństwo, że zmierzona wartość mieści się w granicach ±3σ, wynosi 99,7%, dlatego do większości obliczeń przyjmuje się właśnie 3σ jako szerokość „całego” rozkładu.
Poprawa precyzji
Precyzja pomiaru może zostać poprawiona poprzez oversampling lub filtrowanie. Poszczególne pomiary są uśredniane, dzięki czemu ilość szumu jest znacznie zmniejszona. Rozpiętość zmierzonych wartości zostaje w ten sposób również zmniejszona. Przy oversamplingu (nadpróbkowaniu) lub filtrowaniu należy wziąć pod uwagę, że może to zmniejszyć przepustowość systemu pomiarowego.
Rozdzielczość
Rozdzielczość układu pomiarowego to najmniejsza różnica pomiędzy odróżnialnymi przez układ wartościami. Określenie rozdzielczości przyrządu nie ma związku z jego dokładnością pomiaru.
Cyfrowe systemy pomiarowe
System cyfrowy przekształca sygnał analogowy w cyfrowy odpowiednik z pomocą przetwornika analogowo-cyfrowego (ADC). Różnica między dwiema „sąsiednimi” wartościami w skwantowanym sygnale nazwana jest rozdzielczością i jest ona zawsze równa jednemu bitowi w sygnale cyfrowym. W przypadku multimetru cyfrowego jest to jedna cyfra.
Możliwe jest również wyrażenie rozdzielczości w jednostkach innych niż bity. Na przykład oscyloskop cyfrowy z 8-bitowym przetwornikiem ADC – jeśli jego czułość pionowa jest ustawiona na 100 mV/div, a liczba podziałów wynosi 8, całkowity zakres będzie równy 800 mV. 8 bitów reprezentuje 2^8 = 256 różnych wartości. Rozdzielczość w woltach wynosi wtedy 800 mV/256 = 3,125 mV.
Analogowe systemy pomiarowe
W przypadku analogowych przyrządów pomiarowych, w których zmierzona wartość wyświetlana jest w sposób mechaniczny, takich jak miernik z ruchomą cewką, trudno jest podać dokładną wartość dla rozdzielczości pomiaru. Po pierwsze, rozdzielczość jest ograniczona mechaniczną histerezą układu wynikającą z tarcia łożysk igły. Z drugiej strony, rozdzielczość jest również określana przez obserwatora, co czyni ją bardzo subiektywną do oceny.
Źródło: https://meettechniek.info/measurement/accuracy.html
* Uchyb lub błąd bezwzględny pomiar - różnica pomiędzy wartością rzeczywistą a zmierzoną (w dalszej części tekstu, dla uproszczenia, używać będziemy określenia dokładność – przyp. red);
* Wariancja - miara wielkości losowego rozkładu mierzonych wartości wokół wartości oczekiwanej (w dalszej części tekstu używać będziemy określenia precyzja – przyp. red.);
* Rozdzielczość - wartość najmniejszej rozróżnialnej przez układ pomiarowy zmiany wartości rzeczywistej mierzonego parametru.
W praktyce terminy te są często stosowane nieściśle lub nawet wymiennie – znamienne jest stosowanie wymiennie rozdzielczości i dokładności (w rozumieniu wariancji lub odchylenia standardowego) pomiaru. W poniższym artykule pokrótce omówimy te pojęcia.
Niepewność pomiaru
Niepewności pomiaru można podzielić na błędy systematyczne i losowe. Błędy systematyczne są spowodowane odbiegającymi od idealnych przyrządami pomiarowymi, czyli błędami pomiaru, wzmocnienia, offsetu, itp. narzędzi pomiarowych. Błędy losowe z kolei spowodowane są przez szum i indukowane w układzie napięcia lub prądy.
Dokładność i precyzja definicji
Często pojęcia dokładność i precyzja stosuje się zamiennie; są uważane za synonimy. Te dwa terminy mają jednak zupełnie inne znaczenie. Dokładność wskazuje, jak blisko jest wartość pomiaru od wartości rzeczywistej danej wartości, tj. jakie jest odchylenie między wartościami zmierzonymi a rzeczywistymi. Precyzja odnosi się do losowego rozkładu mierzonych wartości.
Rys.1. Definicje niepewności. Po lewej
stronie seria pomiarów. Po prawej
wartości na histogramie.
Histogram
Zmierzone wartości można wykreślić na histogramie, jak pokazano na rysunku 1. Histogram pokazuje, jak często występuje w pomiarze dana wartość. Najwyższy punkt histogramu, czyli najczęściej otrzymana w pomiarze wartość, wskazuje na ogół na wartość średnią. Wskazuje na to niebieska linia na obu wykresach. Czarna linia reprezentuje rzeczywistą wartość parametru. Różnica między średnią zmierzoną wartością a wartością rzeczywistą to dokładność. Szerokość histogramu wskazuje na rozkład poszczególnych pomiarów. Ten rozkład pomiarów mówi o precyzji pomiaru.
Używaj poprawnych definicji
Dokładność i precyzja mają więc dwa różne znaczenia. Jest zatem całkiem możliwe, że pomiar jest bardzo precyzyjny, ale wcale nie jest dokładny; lub odwrotnie - bardzo dokładny pomiar wcale nie musi być precyzyjny. Zasadniczo pomiar uważa się za poprawny, jeśli jest dokładny i precyzyjny.
Dokładność
Dokładność jest jedną z cech, która wskazuje na poprawność pomiaru. Ponieważ przy pojedynczym pomiarze precyzja wpływa również na dokładność, zostanie pobrana średnia z serii pomiarów.
Niepewność przyrządów pomiarowych jest zwykle podawana przez dwie wartości: niepewność odczytu i niepewność dla pełnej skali (pełnego zakresu pomiarowego). Te dwie specyfikacje razem określają całkowitą niepewność danego pomiaru. Wartości niepewności pomiaru podawane są w procentach lub ppm (częściach na milion) w stosunku do aktualnej normy krajowej. 1% odpowiada 10000 ppm.
Podana niepewność jest określona dla zarówno konkretnych zakresów temperatur pracy, jak i na określony czas po kalibracji urządzenia. Należy również pamiętać, że dla różnych zakresów pomiarowych mogą obowiązywać różne wartości niepewności.
Rys.2. Niepewność odczytu 5% przy
wartości odczytu 70 V.
Wskazanie odchylenia procentowego bez dalszej specyfikacji odnosi się również do odczytu. Tolerancje dzielników napięcia, dokładność wzmocnienia, bezwzględne odchylenie odczytu czy digitalizacja (kwantyzacja) mierzonej wartości mają wpływ na tę niedokładność.
Woltomierz, który odczytuje 70,00 V i ma specyfikację „± 5% odczytu” będzie miał niepewność równą 3,5 V (5% z 70 V) powyżej i poniżej pomiaru. Rzeczywiste napięcie będzie wynosić będzie zatem między 66,5 a 73,5 wolta, co również zapisać można jako (70,00 ± 3,50 ) V.
Rys.3. Niepewność 3% pełnej skali
na zakresie 100 V.
Ten rodzaj niedokładności jest spowodowany błędami przesunięcia i błędami liniowości wzmacniaczy, a także – w układach, gdzie dochodzi do digitalizacji wartości mierzonej – nieliniowością przetwarzania analogowo-cyfrowego i niepewnością samego przetwornika ADC. Specyfikacja ta odnosi się do pełnego zakresu pomiarowego układu.
Woltomierz może mieć np. specyfikację „3% pełnej skali”. Jeżeli podczas pomiaru wybierany jest zakres 100 V (tj. pełna skala), niepewność wynosi 3% ze 100 V = 3 V niezależnie od mierzonego napięcia. Jeśli odczyt, w tym zakresie, wynosi 70 V, wówczas rzeczywiste napięcie wynosi od 67 do 73 woltów – (70 ± 3) V.
Rysunek 3 wyjaśnia, że typ tolerancji jest niezależny od odczytywanej wartości. Gdyby zmierzono w ten sposób wartość 0 V, to napięcie w rzeczywistości wynosić może od -3 do +3 woltów – (0 ± 3) V.
Niepewność w pełnym zakresie pracy wyrażona w ‘cyfrach’
Często cyfrowym multimetrem określa się pełną niepewność w postaci ilości cyfr znaczących zamiast wartości procentowej. Multimetr cyfrowy z 3½ cyfrowym wyświetlaczem (zakres od -1999 do 1999), w specyfikacji można odczytać wartość niepewności jako„+ 2 cyfry”. Oznacza to, że niepewność wyświetlacza wynosi 2 jednostki. Na przykład: jeśli wybrano zakres 20 woltów (± 19,99 V), niepewność w pełnej skali wynosi ± 0,02 V. Wyświetlacz pokazuje wartość 10,00 V, co oznacza, że wartość rzeczywista wynosi (10,00 ± 0,02) V.
Rys.4. Niepewność całkowita 5%
odczytu i 3% pełnej skali dla
zakresu 100 V i odczytu 70 V.
Specyfikacja tolerancji odczytu i pełnej skali razem określają całkowitą niepewność pomiaru dla danego przyrządu. W poniższym przykładzie zastosowano te same wartości, co w powyższych przykładach, to znaczy:
* Dokładność: ± 5% dla odczytu i 3% pełnej skali;
* Zakres pomiarowy: 100 V;
* Zakres odczytu: 70 V.
Całkowitą niepewność pomiaru oblicza się teraz w następujący sposób:
$$\frac {\%odczytany} {100%} \times odczyt = \frac {5\%} {100%} \times 70 V = 3,5 V$$
$$\frac {\%Pełnej\ skali} {100%} \times zakres = \frac {3\%} {100%} \times 100 V = 3 V \qquad (1)$$
$$3,5 V + 3 V = 6,5 V$$
W tej sytuacji całkowita niepewność pomiaru wynosi zatem 6,5 V w górę i w dół. Rzeczywista wartość mieści się zatem w zakresie od 62,5 V do 77,5 V. Rysunek 4 obrazuje to graficznie.
Niepewność procentowa to związek między odczytem a niepewnością. W tej sytuacji jest to opisane równaniem 2:
$$\frac {niepewność} {odczyt} \times 100\% = \frac {6,5 V} {70 V} * 100% = 9,29% \qquad (2)$$
Ilość cyfr urządzenia
Multimetry cyfrowe mogą zawierać specyfikację „± 2,0% rdg, + 4 cyfry. Oznacza to, że do niepewności odczytu 2% należy dodać jeszcze „4 cyfry”. Jako przykład wykorzystajmy ponownie multimetr 3½-cyfrowy. Odczytujemy na nim wartość 5,00 V, podczas gdy wybrany jest zakres 20 V. 2% odczytu oznaczałoby niepewność wynoszącą 0,1 V. Dodać należy do tego niedokładność cyfr (= 0,04 V). Całkowita niepewność wynosi zatem 0,14 V. Rzeczywista wartość powinna wynosić zatem (5,00 ±0,14) V.
Wypadkowa łączna niepewność pomiaru
Często brana jest pod uwagę tylko niepewność samego przyrządu pomiarowego. Należy jednak również zadbać o uwzględnienie dodatkowej niepewności pomiarowej wykorzystanych akcesoriów pomiarowych, jeśli są one używane. Oto kilka często spotykanych przykładów:
Zwiększona niepewność podczas używania sondy oscyloskopowej 1:10
Gdy stosuje się sondę 1:10, należy brać pod uwagę nie tylko niepewność pomiaru samego przyrządu. Impedancja wejściowa zastosowanego przyrządu i rezystancja sondy, które razem tworzą dzielnik napięcia, również mają wpływ na niepewność.
Rys.5. Sonda 1:1 wykorzystana do pomiaru.
Rys.6. Sonda 1:10 podłączona do
oscyloskopu wprowadza dodatkową
niepewność do pomiaru.
Rysunek 6 pokazuje ten sam zakres pomiarowy, ale teraz wykorzystana sonda to 1:10. Sonda ta ma wewnętrzną rezystancję szeregową równą Rp i wraz z rezystancją wejściową oscyloskopu Ri tworzy dzielnik napięcia. Tolerancja rezystorów w dzielniku napięcia spowoduje, że sonda pomiarowa dodaje własną niezerową niepewność.
Tolerancję rezystancji wejściowej oscyloskopu można znaleźć w specyfikacjach oscyloskopu. Tolerancja rezystancji szeregowej Rp sondy nie zawsze jest podana w jej dokumentacji. Jednakże niepewność układu pomiarowego określona przez połączenie sondy oscyloskopu z oscyloskopem danego typu będzie znana. Jeżeli sonda jest używana z innym typem oscyloskopu niż zalecany, niepewność pomiaru nie jest określona. Należy wystrzegać się takiej sytuacji w wymagających precyzji pomiarach.
Pierwiastek sumy kwadratów
Aby uzyskać wynikową niepewność pomiaru, wszystkie tolerancje składowe należy zsumować w postaci pierwiastku z sumy kwadratów. W poniższym przykładzie oscyloskop ma tolerancję 1,5%, a używana sonda 1:10 charakteryzuje się niepewnością pomiaru równą 2,5%. Te dwie specyfikacje muszą być zsumowane – stosuje się do tego pierwiastek z sumy kwadratów. Pokazano to na równaniu 3 poniżej.
$$ \%total = \sqrt {\%odczyt ^2 + \%systemowy ^2} = \sqrt {1,5^2 + 2,5^2} \approx 2,915\% \qquad (3)$$
Rys.7. Zwiększenie niepewności
podczas korzystania z rzeczywistego
opornika do pomiaru prądu.
Często, aby mierzyć wartość płynącego prądu, stosuje się opornik pomiarowy. Prąd płynący przez ten element powoduje na nim pewien spadek napięcia, który można łatwiej zmierzyć z wykorzystaniem np. multimetru czy oscyloskopu. Tolerancja tego opornika przekłada się na niepewność pomiarową tego ustroju. Znając ją oraz niepewność pomiarową urządzenia wykorzystanego w dalszej części pomiaru, oszacować można, podobnie jak powyżej, całkowitą niepewność pomiaru z pomocą pierwiastka sumy kwadratów. Zaprezentowano to na równaniu 4:
$$ \%total = sqrt {\%odczyt^2 + \%opornik^2} = \sqrt {1,5^2 + 2^2} \approx 2,5\% \qquad (4)$$
W tym przykładzie całkowita niepewność odczytu wynosi 2,5%.
Rezystancja bocznika zależna jest dodatkowo od temperatury. Wartość rezystancji jest określona dla pewnej standardowej temperatury. Zależność od temperatury – temperaturowy współczynnik rezystancji - jest często wyrażany w ppm/°C i mówi o tym, jak zmienia się opór elektryczny rezystora wraz ze zmianą jego temperatury. Jako przykład obliczono wartość rezystancji w temperaturze otoczenia (Tamb) równej 30°C. Wykorzystany opornik pomiarowy charakteryzuje się nominalną rezystancją R = 100 Ω w temperaturze 22°C (są to parametry Rnom i Tnom). Temperaturowy współczynnik rezystancji elementu wynosi 20 ppm/°C. Wyliczenia rzeczywistego oporu pokazano na równaniu 5.
$$ ( 1 + (T_{amb} - T_{nom}) \times \frac {ppm} {1000000}) \times R_{nom} = ( 1 + (30 - 22) \times \frac {20} {1000000}) \times 100 = 100,016 \Omega \qquad (5)$$
Prąd przepływający przez bocznik powoduje rozpraszanie energii, co z kolei prowadzi do wzrostu temperatury, a tym samym zmiany wartości rezystancji. Zmiana wartości rezystancji spowodowana przepływem prądu zależy od kilku czynników. W celu uzyskania bardzo dokładnych pomiarów bocznik należy skalibrować przy konkretnym oporze, przepływie prądu i warunkach środowiskowych, w których będzie on stosowany.
Precyzja
Termin precyzja jest używany do wyrażenia losowego błędu pomiaru. Losowy charakter odchyleń mierzonej wartości ma głównie pochodzenie termiczne w przypadku systemów elektronicznych. Ze względu na arbitralny charakter tego szumu nie można podać błędu bezwzględnego. Precyzja daje tylko prawdopodobieństwo, że wartość pomiaru mieści się w podanych granicach.
Rys.8. Rozkład prawdopodobieństwa
dla μ = 2 en σ = 1.
$$f(x) = \frac {1} {\sigma \sqrt {2 \times \pi}} \times exp (\frac {-(x-\mu)^2}{2 \times \sigma^2}) \qquad (6)$$
gdzie μ wartość średnia, a σ wskazuje stopień rozproszenia i odpowiada wartości skutecznej sygnału szumu. Funkcja ta zapewnia krzywą rozkładu prawdopodobieństwa, jak pokazano na rysunku 8, gdzie średnia wartość μ=2, a e efektywna amplituda szumu σ=1.
Tabela prawdopodobieństwa
W tabeli poniżej wymieniono niektóre wartości prawdopodobieństwa znalezienia wartości, wyrażone na określonym poziomie. Jak widać, prawdopodobieństwo, że zmierzona wartość mieści się w granicach ±3σ, wynosi 99,7%, dlatego do większości obliczeń przyjmuje się właśnie 3σ jako szerokość „całego” rozkładu.
| Zakres | Prawdopodobieństwo |
| 0,5·σ | 38.3 % |
| 0,674·σ | 50.0 % |
| 1·σ | 68.3 % |
| 2·σ | 95.4 % |
| 3·σ | 99.7 % |
Poprawa precyzji
Precyzja pomiaru może zostać poprawiona poprzez oversampling lub filtrowanie. Poszczególne pomiary są uśredniane, dzięki czemu ilość szumu jest znacznie zmniejszona. Rozpiętość zmierzonych wartości zostaje w ten sposób również zmniejszona. Przy oversamplingu (nadpróbkowaniu) lub filtrowaniu należy wziąć pod uwagę, że może to zmniejszyć przepustowość systemu pomiarowego.
Rozdzielczość
Rozdzielczość układu pomiarowego to najmniejsza różnica pomiędzy odróżnialnymi przez układ wartościami. Określenie rozdzielczości przyrządu nie ma związku z jego dokładnością pomiaru.
Cyfrowe systemy pomiarowe
System cyfrowy przekształca sygnał analogowy w cyfrowy odpowiednik z pomocą przetwornika analogowo-cyfrowego (ADC). Różnica między dwiema „sąsiednimi” wartościami w skwantowanym sygnale nazwana jest rozdzielczością i jest ona zawsze równa jednemu bitowi w sygnale cyfrowym. W przypadku multimetru cyfrowego jest to jedna cyfra.
Możliwe jest również wyrażenie rozdzielczości w jednostkach innych niż bity. Na przykład oscyloskop cyfrowy z 8-bitowym przetwornikiem ADC – jeśli jego czułość pionowa jest ustawiona na 100 mV/div, a liczba podziałów wynosi 8, całkowity zakres będzie równy 800 mV. 8 bitów reprezentuje 2^8 = 256 różnych wartości. Rozdzielczość w woltach wynosi wtedy 800 mV/256 = 3,125 mV.
Analogowe systemy pomiarowe
W przypadku analogowych przyrządów pomiarowych, w których zmierzona wartość wyświetlana jest w sposób mechaniczny, takich jak miernik z ruchomą cewką, trudno jest podać dokładną wartość dla rozdzielczości pomiaru. Po pierwsze, rozdzielczość jest ograniczona mechaniczną histerezą układu wynikającą z tarcia łożysk igły. Z drugiej strony, rozdzielczość jest również określana przez obserwatora, co czyni ją bardzo subiektywną do oceny.
Źródło: https://meettechniek.info/measurement/accuracy.html
Cool? Ranking DIY
